最近写过的dp题单（持续更新）
前言：
这是笔者保证做过的且我自己认为很不错的 d p dp dp题集，难度对应 c o d e f o r c e s codeforces codeforces 1800 − 2300 1800-2300 1800−2300不等。点击题目有链接。
Fence Job（前缀和优化）
思路：
首先读完题可发现的是每个 h [ i ] h[i] h[i]都有个极长区间，也就是 h [ i ] h[i] h[i]只能在这个区间内出现，且作为该区间内的极小值。
看数据应该是 n 2 n^2 n2的 d p dp dp,考虑从什么状态入手。我们发现不同的操作可能会出现相同的结果序列，那么我们从操作完最后的序列入手。 d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j]表示操作前 i i i个数，且最后一个数以 a [ j ] a[j] a[j]结尾的合法序列有多少种。考虑转移：如果最后一个数以 a [ j ] a[j] a[j]结尾，那么前一个数只能以 x x x结尾且 x ≤ a [ j ] x\leq a[j] x≤a[j]。
这么 d p [ i ] [ j ] = ∑ x = 1 j d p [ i − 1 ] [ x ] , a [ x ] ≤ a [ j ] dp[i][j]=\sum_{x=1}^{j}{dp[i-1][x]},a[x]\leq a[j] dp[i][j]=∑x=1jdp[i−1][x],a[x]≤a[j].用前缀和优化转移即可。
code:
cin >> n;
for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
for(int i = 1; i <= n; i++) {
for(int j = i + 1; j <= n + 1; j++)
if(a[j] < a[i]) {
r[i] = j;
break;
}
for(int j = i - 1; j >= 0; j--)
if(a[j] < a[i]) {
l[i] = j;
break;
}
}
for(int i = 1; i <= n; i++) {
for(int j = 1; j <= n; j++) {
if(i == 1) {
if(l[j] < i && i < r[j])
dp[i][j] = 1;
} else {
if(l[j] < i && i < r[j]) {
dp[i][j] += sum[i - 1][j];
}
}
sum[i][j] = sum[i][j - 1] + dp[i][j];
}
}
mint ans = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++) ans += dp[n][i];
cout << ans << '\n';
Yaroslav and Two Strings 线性dp
思路：
很裸的线性 d p dp dp啊，发现状态无非就那么几个：
f [ i ] [ 0 ] : 前 i 个数仅有 s [ j ] ≤ w [ j ] f[i][0]:前i个数仅有s[j]\leq w[j] f[i][0]:前i个数仅有s[j]≤w[j]
f [ i ] [ 1 ] : 前 i 个数有 s [ j ] < w [ j ] & & s [ j ] > w [ j ] f[i][1]:前i个数有s[j]
f [ i ] [ 2 ] : 前 i 个数仅有 w [ j ] ≤ s [ j ] f[i][2]:前i个数仅有w[j]\leq s[j] f[i][2]:前i个数仅有w[j]≤s[j]
f [ i ] [ 3 ] : 前 i 个数仅有 s [ j ] = w [ j ] f[i][3]:前i个数仅有s[j]=w[j] f[i][3]:前i个数仅有s[j]=w[j]
暴力转移即可
code:
mint f[N][4];
signed main() {
#ifdef JANGYI
freopen("input.in", "r", stdin);
freopen("out.out", "w", stdout);
auto now = clock();
#endif
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
int n;
cin >> n;
string s, w;
cin >> s >> w;
s = ' ' + s; w = ' ' + w;
f[0][3] = 1;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
if(s[i] == '?' && w[i] == '?') {
for(int x = 0; x <= 9; x++)
for(int y = 0; y <= 9; y++) {
if(x < y) {
f[i][0] += f[i - 1][0] + f[i - 1][3];
f[i][1] += f[i - 1][1] + f[i- 1][2];
} else if(x > y) {
f[i][1] += f[i - 1][1] + f[i - 1][0];
f[i][2] += f[i - 1][2] + f[i - 1][3];
} else {
f[i][1] += f[i - 1][1];
f[i][2] += f[i - 1][2];
f[i][0] += f[i - 1][0];
f[i][3] += f[i - 1][3];
}
}
}
if(s[i] != '?' && w[i] != '?') {
int x = s[i] - '0', y = w[i] - '0';
if(x > y) {
f[i][0] = 0;
f[i][1] = f[i - 1][1] + f[i - 1][0];
f[i][2] = f[i - 1][2] + f[i - 1][3];
f[i][3] = 0;
} else if(x == y) {
f[i][0] = f[i - 1][0];
f[i][1] = f[i - 1][1];
f[i][2] = f[i - 1][2];
f[i][3] = f[i - 1][3];
} else {
f[i][0] = f[i - 1][0] + f[i - 1][3];
f[i][1] = f[i - 1][1] + f[i - 1][2];
f[i][2] = 0;
f[i][3] = 0;
}
}
if(s[i] != '?' && w[i] == '?') {
int x = s[i] - '0';
for(int y = 0; y <= 9; y++) {
if(x > y) {
f[i][1] += f[i - 1][1] + f[i - 1][0];
f[i][2] += f[i - 1][2] + f[i - 1][3];
} else if(x == y) {
f[i][0] += f[i - 1][0];
f[i][1] += f[i - 1][1];
f[i][2] += f[i - 1][2];
f[i][3] += f[i - 1][3];
} else {
f[i][0] += f[i - 1][0] + f[i - 1][3];
f[i][1] += f[i - 1][1] + f[i - 1][2];
}
}
}
if(s[i] == '?' && w[i] != '?') {
int y = w[i] - '0';
for(int x = 0; x <= 9; x++) {
if(x > y) {
f[i][1] += f[i - 1][1] + f[i - 1][0];
f[i][2] += f[i - 1][2] + f[i - 1][3];
} else if(x == y) {
f[i][0] += f[i - 1][0];
f[i][1] += f[i - 1][1];
f[i][2] += f[i - 1][2];
f[i][3] += f[i - 1][3];
} else {
f[i][0] += f[i - 1][0] + f[i - 1][3];
f[i][1] += f[i - 1][1] + f[i - 1][2];
}
}
}
if(s[i] != '?' && w[i] != '?') {
int x = s[i] - '0', y = w[i] - '0';
if(x > y) {
f[i][1] = f[i - 1][1] + f[i - 1][0];
f[i][2] = f[i - 1][2] + f[i - 1][3];
f[i][3] = 0;
} else if(x == y) {
f[i][0] = f[i - 1][0];
f[i][1] = f[i - 1][1];
f[i][2] = f[i - 1][2];
f[i][3] = f[i - 1][3];
} else {
f[i][0] = f[i - 1][0] + f[i - 1][3];
f[i][1] = f[i - 1][1] + f[i - 1][2];
f[i][2] = 0;
f[i][3] = 0;
}
}
// for(int j = 0; j < 4; j++) D(f[i][j])
}
cout << f[n][1];
#ifdef JANGYI
cerr << "================================" << endl;
cerr << "Program run for " << (clock() - now) / (double)CLOCKS_PER_SEC * 1000 << " ms." << endl;
#endif
return 0;
}
/*
仅有：
f[i][0] : s[i] <= w[i];
f[i][1] : s[i] < w[i] & s[i] > w[i];
f[i][2] : s[i] >= w[i];
f[i][3] : s[i] == w[i];
*/
杭电多校第三场[Two Permutations]（(https://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=7173)（哈希或者记忆化搜索dp）
题意：
给定两个全排列数组 P , Q P,Q P,Q,和一个空数组 R R R,每次从两个数组的首位数字挑一个加到 R R R后面，然后删除该数组。问：给定最后形成的 R R R,求有多少种方案可以构成。
解法一：
我们会发现一个数字会出现两次，那么我们记录每个数字在 R R R中第一次，第二次出现的位置。对于当前数字 p [ i ] p[i] p[i]，枚举数字 p [ i + 1 ] p[i+1] p[i+1]出现的位置，那么这两个位置中间就要放 Q Q Q的一段，用哈希判断是否和 R R R这一段子串完全匹配即可。
code:
typedef unsigned long long ULL;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> pii;
template <typename T> void inline read(T &x) {
int f = 1; x = 0; char s = getchar();
while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
x *= f;
}
const int N = 3e5 + 10, M = N * 2, mod1 = 998244353, mod2 = 1e9 + 7;
inline LL ksm(LL a, LL b, int mod){
LL ans = 1;
for(; b; b >>= 1, a = a * a % mod) if(b & 1) ans = ans * a % mod;
return ans;
}
int dx[] = {1, -1, 0, 0};
int dy[] = {0, 0, -1, 1};
//----------------------------------------------------------------------------------------//
ULL fb[N], fc[N << 1], p[N << 1];
int n, a[N], b[N], c[N << 1];
int dp[N][2], pos[N][2];
inline ULL get(ULL f[], int l, int r) {
return f[r] - f[l - 1] * p[r - l + 1];
}
inline bool check(int lb, int rb, int lc, int rc) {
if(lb > rb) return 1;
if(lb < 1 || rb > n || lc < 1 || rc > n + n) return 0;
return get(fb, lb, rb) == get(fc, lc, rc);
}
inline void up(int &x, int y) {
x = x + y >= mod1 ? x + y - mod1 : x + y;
}
void solve() {
read(n);
for(int i = 1; i <= n; i++) read(a[i]);
for(int i = 1; i <= n; i++) read(b[i]);
for(int i = 1; i <= n + n; i++) read(c[i]);
for(int i = 1; i <= n; i++) for(int j = 0; j < 2; j++) dp[i][j] = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++) pos[i][0] = pos[i][1] = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++) fb[i] = fb[i - 1] * 233 + b[i];
for(int i = 1; i <= n << 1; i++) fc[i] = fc[i - 1] * 233 + c[i];
for(int i = 1; i <= n << 1; i++) {
if(!pos[c[i]][0]) pos[c[i]][0] = i;
else pos[c[i]][1] = i;
}
int Q = 1;
for(; Q <= n; Q++) if(!pos[Q][0] || !pos[Q][1]) break;
if(Q != n + 1) {
puts("0");
return;
}
for(int j = 0; j < 2; j++) {
int x = pos[a[1]][j];
if(check(1, x - 1, 1, x - 1)) dp[1][j] = 1;
}
for(int i = 1; i < n; i++) {
for(int j = 0; j < 2; j++) {
if(dp[i][j]) {
int x = pos[a[i]][j];
for(int k = 0; k < 2; k++) {
int y = pos[a[i + 1]][k];
if(y <= x) continue;
if(check(x - i + 1, y - i - 1, x + 1, y - 1))
up(dp[i + 1][k], dp[i][j]);
}
}
}
}
int ans = 0;
for(int j = 0; j < 2; j++)
if(dp[n][j]) {
int x = pos[a[n]][j];
if(check(x - n + 1, n, x + 1, n + n )) up(ans, dp[n][j]);
}
printf("%d\n", ans);
}
signed main() {
#ifdef JANGYI
freopen("input.in", "r", stdin);
freopen("out.out", "w", stdout);
auto now = clock();
#endif
// ios::sync_with_stdio(false);
// cin.tie(0);
p[0] = 1;
for(int i = 1; i < N << 1; i++) p[i] = p[i - 1] * 233;
int T = 1;
read(T);
while(T--) {
solve();
}
#ifdef JANGYI
cout << "================================" << endl;
cout << "Program run for " << (clock() - now) / (double)CLOCKS_PER_SEC * 1000 << " ms." << endl;
#endif
return 0;
}
解法二：
我们定义 d p [ i ] [ 0 / 1 ] dp[i][0/1] dp[i][0/1]表示 R R R的第 i i i位与 P / Q P/Q P/Q匹配的方案数。采用记忆化搜索的方法实现即可。
code：
int dp[2 * MAXN][2];
int dfs(int x, int y,int tar) {
if (x > n && y > n)return 1;
if (dp[x + y - 1][tar]!=-1)return dp[x + y - 1][tar];
int ans = 0;
if (P[x] == S[x + y - 1] && x <= n) {
ans += dfs(x + 1, y, 0);
ans %= mod;
}
if (Q[y] == S[x + y - 1] && y <= n) {
ans += dfs(x, y + 1, 1);
ans %= mod;
}
return dp[x + y - 1][tar] = ans;
}
void slove() {
cin >> n;
for (int i = 0; i <= 2 * n + 5; i++)dp[i][0] = dp[i][1] = -1;
for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> P[i];
for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> Q[i];
for (int i = 1; i <= 2 * n; i++)cin >> S[i];
int ans = 0;
if (P[1] == S[1])ans += dfs(2, 1, 0), ans %= mod;
if (Q[1] == S[1])ans += dfs(1, 2, 1), ans %= mod;
cout << ans << endl;
}
杭电多校第二场：E Slayers Come（线段树并查集优化）
题意：
给定一个长度为 n n n的数组，每个位置有一个怪兽，有血量 b [ i ] b[i] b[i]和攻击力 a [ i ] a[i] a[i]。有 m m m个技能，每个技能有三个参数： V , L , R V,L,R V,L,R：可以杀死 V V V位置的怪物，这个怪物死后会攻击两边的怪，对左边造成 a [ i ] − L a[i]-L a[i]−L伤害，右边造成 a [ i ] − R a[i]-R a[i]−R的伤害。求如何组合技能使每个怪都被至少杀一次的方案。
思路：
首先可以发现每个技能是可以杀死一段区间内的怪物，那么我们如果能处理出来所有技能的区间 [ L , R ] [L,R] [L,R]，那么问题就转化为从这些技能中选取若干使得区间 [ 1 , n ] [1,n] [1,n]被覆盖，就是区间完全覆盖问题，看数据范围，很容易想到线段树优化，经典题啊！那么我们就该考虑如何快速求出每个技能的区间。依题意如果 a [ i ] − r [ k ] ≥ b [ i + 1 ] a[i]-r[k] \geq b[i+1] a[i]−r[k]≥b[i+1]，那么我们就可以通过传递杀死它，那么我们把 a [ i ] − b [ i + 1 ] a[i]-b[i+1] a[i]−b[i+1]按从大到小排序，把每个技能的 r r r从小到大排序，优先处理容易死的怪，如果满足上述关系，那么就把 [ i , i + 1 ] [i,i+1] [i,i+1]合并到一个连通块里，用并查集优化。左端点同理。
那么接下来解决如何组合技能是区间被重复覆盖。
对于当前区间 [ L , R ] [L,R] [L,R],
d p [ r ] + = ∑ j = L − 1 R d p [ j ] dp[r]+=\sum_{j=L-1}^{R}{dp[j]} dp[r]+=∑j=L−1Rdp[j] ：选这个区间，那么左端点接在 [ L − 1 , R ] [L-1,R] [L−1,R]的位置，都可以使 [ 1 , R ] [1,R] [1,R]被覆盖。
0 ≤ j ≤ L − 2 , d p [ j ] = d p [ j ] ∗ 2 0\leq j \leq L-2,dp[j] =dp[j]*2 0≤j≤L−2,dp[j]=dp[j]∗2：选不选这个区间，区间 [ 0 , L − 2 ] [0,L-2] [0,L−2]还是会被覆盖，因为题目问的是如何组合技能。
优化用线段树即可。
code:
来自大佬的代码
#include Pawn（背包+记录路径）
思路：
首先 f [ i ] [ j ] [ w ] f[i][j][w] f[i][j][w]表示从底部走到 ( i , j ) (i,j) (i,j)且当前所有豆子总数 m o d ( k + 1 ) = w mod(k+1)=w mod(k+1)=w的最大豆子数。
那么转移我们就直接枚举是从下一层哪个方向走过来的即可，顺便记录一下路径。
code:
template<int m>
struct modint {
unsigned int x;
constexpr modint()noexcept:x(){}
template<typename T>
constexpr modint(T x_)noexcept:x((x_%=m)<0?x_+m:x_){}
constexpr unsigned int val()const noexcept{return x;}
constexpr modint&operator++()noexcept{if(++x==m)x=0;return*this;}
constexpr modint&operator--()noexcept{if(x==0)x=m;--x;return*this;}
constexpr modint operator++(int)noexcept{modint res=*this;++*this;return res;}
constexpr modint operator--(int)noexcept{modint res=*this;--*this;return res;}
constexpr modint&operator+=(const modint&a)noexcept{x+=a.x;if(x>=m)x-=m;return*this;}
constexpr modint&operator-=(const modint&a)noexcept{if(x<a.x)x+=m;x-=a.x;return*this;}
constexpr modint&operator*=(const modint&a)noexcept{x=(unsigned long long)x*a.x%m;return*this;}
constexpr modint&operator/=(const modint&a)noexcept{return*this*=a.inv();}
constexpr modint operator+()const noexcept{return*this;}
constexpr modint operator-()const noexcept{return modint()-*this;}
constexpr modint pow(long long n)const noexcept {
if(n<0)return pow(-n).inv();
modint x=*this,r=1;
for(;n;x*=x,n>>=1)if(n&1)r*=x;
return r;
}
constexpr modint inv()const noexcept {
int s=x,t=m,x=1,u=0;
while(t)
{
int k=s/t;
s-=k*t;
swap(s,t);
x-=k*u;
swap(x,u);
}
return modint(x);
}
friend constexpr modint operator+(const modint&a,const modint&b){return modint(a)+=b;}
friend constexpr modint operator-(const modint&a,const modint&b){return modint(a)-=b;}
friend constexpr modint operator*(const modint&a,const modint&b){return modint(a)*=b;}
friend constexpr modint operator/(const modint&a,const modint&b){return modint(a)/=b;}
friend constexpr bool operator==(const modint&a,const modint&b){return a.x==b.x;}
friend constexpr bool operator!=(const modint&a,const modint&b){return a.x!=b.x;}
friend ostream&operator<<(ostream&os,const modint&a){return os<<a.x;}
friend istream&operator>>(istream&is,modint&a){long long v;is>>v;a=modint(v);return is;}
};
using mint = modint<1000000007>;
// using mint = modint<998244353>;
namespace Combine{
const int Combine_max = 1e5 + 50;
mint fac[Combine_max];
void init() { fac[0] = 1; for (int i = 1; i < Combine_max; ++ i) fac[i] = fac[i - 1] * i; }
mint A(int n, int m) { return fac[n] / fac[n - m]; }
mint C(int n, int m) { return fac[n] / (fac[n - m] * fac[m]); }
mint ksm(mint x, int exp){
mint res = 1;
for (; exp; x *= x, exp >>= 1) if (exp & 1) res *= x;
return res;
}
}
using namespace Combine;
int f[111][111][11]; //f[i][j][w]走到(i,j)，价值mod(k+1)=w的最大价值
int n, m, a[111][111];
pii road[111][111][11];
signed main() {
#ifdef JANGYI
freopen("input.in", "r", stdin);
freopen("out.out", "w", stdout);
auto now = clock();
#endif
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
int k;
cin >> n >> m >> k;
k++;
memset(f, -1, sizeof f);
for(int i = 1; i <= n; i++) {
string s; cin >> s;
for(int j = 1; j <= m; j++)
a[i][j] = s[j - 1] - '0';
}
for(int i = n; i >= 1; i--) {
for(int j = 1; j <= m; j++) {
if(i == n) f[n][j][a[i][j] % k] = a[i][j];
else {
for(int w = 0; w < k; w++) {
if(j > 1 && f[i + 1][j - 1][(w - a[i][j] % k + k) % k] != -1 && f[i + 1][j - 1][(w - a[i][j] % k + k) % k] + a[i][j] > f[i][j][w]) {
f[i][j][w] = f[i + 1][j - 1][(w - a[i][j] % k + k) % k] + a[i][j];
road[i][j][w] = {j - 1, (w - a[i][j] % k + k) % k};
}
if(j < m && f[i + 1][j + 1][(w - a[i][j] % k + k) % k] != -1 && f[i + 1][j + 1][(w - a[i][j] % k + k) % k] + a[i][j] > f[i][j][w]) {
f[i][j][w] = f[i + 1][j + 1][(w - a[i][j] % k + k) % k] + a[i][j];
road[i][j][w] = {j + 1, (w - a[i][j] % k + k) % k};
}
}
}
}
}
int ans = -1, id;
for(int i = 1; i <= m; i++) {
if(f[1][i][0] > ans) {
ans = f[1][i][0];
id = i;
}
}
// D(id)
if(ans == -1) {
cout << -1 << '\n';
return 0;
}
cout << ans << '\n';
int i = 1, j = id, w = 0;
vector<string> pos;
while(i != n) {
pii now = road[i][j][w];
if(now.fi == j - 1) pos.pb("R");
else pos.pb("L");
// DD(i, j)
i++;
j = now.fi; w = now.se;
}
cout << j << '\n';
reverse(all(pos));
for(auto t : pos) cout << t;
#ifdef JANGYI
cerr << "================================" << endl;
cerr << "Program run for " << (clock() - now) / (double)CLOCKS_PER_SEC * 1000 << " ms." << endl;
#endif
return 0;
}