机器学习-数据归一化方法（Normalization Method）

出现背景：

 

从左至右来看，第一个模型是一个线性模型，拟合度很低，也称作欠拟合（Underfitting），不能很好地适应我们的训练集；第三个模型是一个高次方的模型，属于过度拟合，虽然能很好的适应我们的训练数据集，但是在新输入变量进行预测的时候，可能效果会很差。第二个模型可能是刚刚适合我们数据的模型。

那么问题来了，如果我们发现这样过度拟合的情况，如何处理呢？

有两种方式：

1.丢弃一些不能帮助我们正确预测的特征。采用的方法如下：

•  手工选择保留哪些特征。
• 使用一些模型选择算法来帮忙降维。（例如PCA等）

2.归一化处理

•  保留所有的特征，但是减少参数的大小（或者是说：减少参数的重要性）

定义：

不同的评价指标往往具有不同的量纲（例如：对于评价房价来说量纲指：面积、房价数、楼层等；对于预测某个人患病率来说量纲指：身高、体重等。）和量纲单位（例如：面积单位：平方米、平方厘米等；身高：米、厘米等），这样的情况会影响到数据分析的结果，为了消除指标之间量纲的影响，需要进行数据标准化处理，已解决数据指标之间的可比性。原始数据经过数据标准化处理后，各指标处于同一数量级，适合进行综合对比评价。

优点：

（1）归一化后加快了梯度下降求最优解的速度。

（2）归一化有可能提高精度（归一化是让不同维度之间的特征在数值上有一定的比较性）。

解释（1）加快梯度下降求最优解的速度：

例子：假定为了预测房子价格，自变量为面积，房间数两个，因变量为房价。

那么可以得到的公式为：

 

首先我们给出两张图代表数据是否均一化的最优解寻解过程。

 

未归一化：

 

归一化之后：

 

我们在寻找最优解的过程中也就是在使得损失函数值最小的theta1、theta2。上述两幅图代表的是损失函数的等高线。我们很容易看出，当数据没有归一化的时候，面积数的范围可以从0-1000，房间数的范围一般为0-10，可以看出面积数的取值范围远大于房间数。

归一化和没有归一化的影响：

这样造成的影响就是在形成损失函数的时候：

数据没有归一化的表达试可以为：

 

造成图像的等高线为类似的椭圆形状，最优解的寻优过程如下图所示：

 

 

而数据归一化后，损失函数的表达式可以表示为：

 

其中变量的前面系数都在【0-1】范围之间，则图像的等高线为类似的圆形形状，最优解的寻优过程如下图所示:

 

从上面可以看出，数据归一化后，最优解的寻优过程明显会变得平缓，更容易正确的收敛到最优解。

 

解释：（2）归一化有可能提高精度（归一化是让不同维度之间的特征在数值上有一定的比较性）。

 

一些分类器需要计算样本之间的距离（如欧式距离），例如KNN。如果一个特征值域范围非常大，那么距离计算就主要取决于这个特征，从而与实际情况不符。（比如，这时实际情况是值域范围小的特征更重要）。

两种常用的归一化方法：

（1）min-max标准化

（2）Z-score标准化方法

min-max标准化（Min-Max Normalization）（线性函数归一化）

• 定义：也称为离差标准化，是对原始数据的线性变换，使得结果映射到0-1之间。
• 本质：把数变为【0,1】之间的小数。
• 转换函数：（X-Min）/(Max-Min)
• 如果想要将数据映射到-1,1，则将公式换成：（X-Mean）/(Max-Min)

其中：max为样本数据的最大值，min为样本数据的最小值，Mean表示数据的均值。

缺陷：当有新数据加入时，可导致max和min的变化，需要重新定义。

0均值标准化（Z-score standardization）

• 定义：这种方法给与原始数据的均值（mean）和标准差（standard deviation）进行数据的标准化。经过处理的数据符合标准正态分布，即均值为0，标准差为1.
• 本质：把有量纲表达式变成无量纲表达式。
• 转换函数：（X-Mean）/(Standard deviation)

其中，Mean为所有样本数据的均值。Standard deviation为所有样本数据的标准差。

两种归一化方法的使用场景：

（1）在分类、聚类算法中，需要使用距离来度量相似性的时候、或者使用PCA技术进行降维的时候，第二种方法(Z-score standardization)表现更好。

因为：第一种方法(线性变换后)，其协方差产生了倍数值的缩放，因此这种方式无法消除量纲对方差、协方差的影响，对PCA分析影响巨大；同时，由于量纲的存在，使用不同的量纲、距离的计算结果会不同。

（2）在不涉及距离度量、协方差计算、数据不符合正太分布的时候，可以使用第一种方法或其他归一化方法。比如图像处理中，将RGB图像转换为灰度图像后将其值限定在0 255的范围。

因为：第二种归一化方式中，新的数据由于对方差进行了归一化，这时候每个维度的量纲其实已经等价了，每个维度都服从均值为0、方差1的正态分布，在计算距离的时候，每个维度都是去量纲化的，避免了不同量纲的选取对距离计算产生的巨大影响。

 

为什么在距离度量计算相似性、PCA中使用第二种方法(Z-score standardization)会更好呢？我们进行了以下的推导分析：

 

归一化方法对方差、协方差的影响：假设我们数据为2个维度（X、Y）,首先看均值为0对方差、协方差的影响：

我们使用Z-score标准化进行计算，我们先不做方差归一化，只做0均值化为:

 

新数据的协方差为：

 

由于

 

 

因此：

 

而原始数据协方差为：

 

因此：

做方差归一化后：

                 

 

 

方差归一化后的协方差为：

 

使用Min-Max标准化方法进行计算，为了方便分析，我们只对X维进行线性函数变换

 

计算协方差：

 

总结：

使用Max-Min标准化后，其协方差产生了倍数值得缩放，因此这种方式无法消除量纲对方差、协方差的影响，对PCA分析影响巨大；同时由于量纲的存在，使用不同的量纲，距离的计算结果会不同。

在Z-score标准化（0均值标准化）中，新的数据由于对方差进行了归一化，这时候每个维度的量纲其实已经等价了，每个维度都服从均值为0、方差为1的正态分布，在计算距离的时候，每个维度都是去量纲化的，避免了不同量纲的选取对距离计算产生的巨大影响。

总的来说，在算法、后续计算中，涉及距离度量（聚类分析）或者协方差分析（PCA、LDA等）的，同时数据分布可以近似为状态分布，应当使用0均值化的归一方法。其它应用中，根据具体情况选用合适的归一化方法。

 

归一化后有两个好处

1. 提升模型的收敛速度

如下图，x1的取值为0-2000，而x2的取值为1-5，假如只有这两个特征，对其进行优化时，会得到一个窄长的椭圆形，导致在梯度下降时，梯度的方向为垂直等高线的方向而走之字形路线，这样会使迭代很慢，相比之下，右图的迭代就会很快（理解：也就是步长走多走少方向总是对的，不会走偏）

2.提升模型的精度

归一化的另一好处是提高精度，这在涉及到一些距离计算的算法时效果显著，比如算法要计算欧氏距离，上图中X2的取值范围比较小，涉及到距离计算时其对结果的影响远比X1带来的小，所以这就会造成精度的损失。所以归一化很有必要，他可以让各个特征对结果做出的贡献相同。

    在多指标评价体系中，由于各评价指标的性质不同，通常具有不同的量纲和数量级。当各指标间的水平相差很大时，如果直接用原始指标值进行分析，就会突出数值较高的指标在综合分析中的作用，相对削弱数值水平较低指标的作用。因此，为了保证结果的可靠性，需要对原始指标数据进行标准化处理。

    在数据分析之前，我们通常需要先将数据标准化（normalization），利用标准化后的数据进行数据分析。数据标准化也就是统计数据的指数化。数据标准化处理主要包括数据同趋化处理和无量纲化处理两个方面。数据同趋化处理主要解决不同性质数据问题，对不同性质指标直接加总不能正确反映不同作用力的综合结果，须先考虑改变逆指标数据性质，使所有指标对测评方案的作用力同趋化，再加总才能得出正确结果。数据无量纲化处理主要解决数据的可比性。经过上述标准化处理，原始数据均转换为无量纲化指标测评值，即各指标值都处于同一个数量级别上，可以进行综合测评分析。

从经验上说，归一化是让不同维度之间的特征在数值上有一定比较性，可以大大提高分类器的准确性。

数据需要归一化的机器学习算法

需要归一化的模型：

        有些模型在各个维度进行不均匀伸缩后，最优解与原来不等价，例如SVM（距离分界面远的也拉近了，支持向量变多？）。对于这样的模型，除非本来各维数据的分布范围就比较接近，否则必须进行标准化，以免模型参数被分布范围较大或较小的数据dominate。
        有些模型在各个维度进行不均匀伸缩后，最优解与原来等价，例如logistic regression（因为θ的大小本来就自学习出不同的feature的重要性吧？）。对于这样的模型，是否标准化理论上不会改变最优解。但是，由于实际求解往往使用迭代算法，如果目标函数的形状太“扁”，迭代算法可能收敛得很慢甚至不收敛。所以对于具有伸缩不变性的模型，最好也进行数据标准化。

不需要归一化的模型：

        ICA好像不需要归一化（因为独立成分如果归一化了就不独立了？）。

       基于平方损失的最小二乘法OLS不需要归一化。

[线性回归与特征归一化(feature scaling)]

 

常见的数据归一化方法

min-max标准化(Min-max normalization)/0-1标准化(0-1 normalization)

也叫离差标准化，是对原始数据的线性变换，使结果落到[0,1]区间，转换函数如下：

其中max为样本数据的最大值，min为样本数据的最小值。

def Normalization(x):
    return [(float(i)-min(x))/float(max(x)-min(x)) for i in x]

如果想要将数据映射到[-1,1]，则将公式换成：

x∗=x−xmeanxmax−xmin

x_mean表示数据的均值。

def Normalization2(x):
    return [(float(i)-np.mean(x))/(max(x)-min(x)) for i in x]

这种方法有一个缺陷就是当有新数据加入时，可能导致max和min的变化，需要重新定义。

log函数转换

通过以10为底的log函数转换的方法同样可以实现归一下，具体方法如下：

看了下网上很多介绍都是x*=log10(x)，其实是有问题的，这个结果并非一定落到[0,1]区间上，应该还要除以log10(max)，max为样本数据最大值，并且所有的数据都要大于等于1。

atan函数转换

用反正切函数也可以实现数据的归一化。

使用这个方法需要注意的是如果想映射的区间为[0,1]，则数据都应该大于等于0，小于0的数据将被映射到[-1,0]区间上，而并非所有数据标准化的结果都映射到[0,1]区间上。

z-score 标准化(zero-mean normalization)

最常见的标准化方法就是Z标准化，也是SPSS中最为常用的标准化方法，spss默认的标准化方法就是z-score标准化。

也叫标准差标准化，这种方法给予原始数据的均值（mean）和标准差（standard deviation）进行数据的标准化。

经过处理的数据符合标准正态分布，即均值为0，标准差为1，其转化函数为：

x∗=x−μσ

其中μ为所有样本数据的均值，σ为所有样本数据的标准差。

z-score标准化方法适用于属性A的最大值和最小值未知的情况，或有超出取值范围的离群数据的情况。

标准化的公式很简单，步骤如下

　　1.求出各变量（指标）的算术平均值（数学期望）xi和标准差si ；
　　2.进行标准化处理：
　　     zij=（xij－xi）/si
　　其中：zij为标准化后的变量值；xij为实际变量值。
　　3.将逆指标前的正负号对调。
　　标准化后的变量值围绕0上下波动，大于0说明高于平均水平，小于0说明低于平均水平。

def z_score(x, axis):
    x = np.array(x).astype(float)
    xr = np.rollaxis(x, axis=axis)
    xr -= np.mean(x, axis=axis)
    xr /= np.std(x, axis=axis)
    # print(x)
    return x

为什么z-score 标准化后的数据标准差为1?

x-μ只改变均值，标准差不变，所以均值变为0

(x-μ)/σ只会使标准差除以σ倍，所以标准差变为1

 

Decimal scaling小数定标标准化

这种方法通过移动数据的小数点位置来进行标准化。小数点移动多少位取决于属性A的取值中的最大绝对值。

将属性A的原始值x使用decimal scaling标准化到x'的计算方法是：
x'=x/(10^j)
其中，j是满足条件的最小整数。
例如 假定A的值由-986到917，A的最大绝对值为986，为使用小数定标标准化，我们用每个值除以1000（即，j=3），这样，-986被规范化为-0.986。
注意，标准化会对原始数据做出改变，因此需要保存所使用的标准化方法的参数，以便对后续的数据进行统一的标准化。

Logistic/Softmax变换

logistic函数和标准正态函数

新数据=1/（1+e^(-原数据)）

 

P(i)=11+exp(−θTix)

 

这个函数的作用就是使得P(i)在负无穷到0的区间趋向于0，在0到正无穷的区间趋向于1。同样，函数（包括下面的softmax）加入了e的幂函数正是为了两极化：正样本的结果将趋近于1，而负样本的结果趋近于0。这样为多类别分类提供了方便（可以把P(i)看作是样本属于类别i的概率）。

 

logit(P) = log(P / (1-P)) = a + b*x 以及 probit(P) = a + b*x

这两个连接函数的性质使得P的取值被放大到整个实数轴上。

事实上可以把上面的公式改写一下：

P = exp(a + b*x) / (1 + exp(a + b*x)) 或者 P = pnorm(a + b*x)（这个是标准正态分布的分布函数）

 

 

 

Note: 上半部分图形显示了概率P随着自变量变化而变化的情况，下半部分图形显示了这种变化的速度的变化。可以看得出来，概率P与自变量仍然存在或多或少的线性关系，主要是在头尾两端被连接函数扭曲了，从而实现了[0,1]限制。同时，自变量取值靠近中间的时候，概率P变化比较快，自变量取值靠近两端的时候，概率P基本不再变化。这就跟我们的直观理解相符合了，似乎是某种边际效用递减的特点。

[logistic回归的一些直观理解(1.连接函数 logit probit)]

Softmax函数

是logistic函数的一种泛化，Softmax是一种形如下式的函数：

 

假设我们有一个数组，V，Vi表示V中的第i个元素，那么这个元素的Softmax值就是

也就是说，是该元素的指数，与所有元素指数和的比值

为什么要取指数，第一个原因是要模拟 max 的行为，所以要让大的更大。第二个原因是需要一个可导的函数。

通过softmax函数，可以使得P(i)的范围在[0,1]之间。在回归和分类问题中，通常θ是待求参数，通过寻找使得P(i)最大的θi作为最佳参数。

此外Softmax函数同样可用于非线性估计，此时参数θ可根据现实意义使用其他列向量替代。

Softmax函数得到的是一个[0,1]之间的值，且∑Kk=1P(i)=1，这个softmax求出的概率就是真正的概率，换句话说，这个概率等于期望。

[Softmax 函数及其作用（含推导） ]

[Machine Learning - VI. Logistic Regression逻辑回归 (Week 3) ]

 

模糊量化模式

 

新数据=1/2+1/2sin[派3.1415/（极大值-极小值）*（X-（极大值-极小值）/2） ] X为原数据

 

参考文献：http://blog.csdn.net/yehui_qy/article/details/53787386

                http://blog.csdn.net/zbc1090549839/article/details/44103801

               知乎：处理数据时不进行归一化会有什么影响？归一化的作用是什么？什么时候需要归一化？有哪些归一化的方法？ - 忆臻的回答 - 知乎
               https://www.zhihu.com/question/20455227/answer/197897298

               http://blog.csdn.net/mysteryhaohao/article/details/51261300