《剑指offer》之利用单调栈法求直方图最大矩形面积

问题描述

直方图是由排列在同一基线上的相邻柱子组成的图形。
输入是一个由非负数组成的数组，数组中的数字是直方图中柱子的高。
假设直方图中柱子的宽都为 1。

求直方图中最大矩形面积？

例如：输入数组[3,2,5,4,6,1,4,2]，其对应的直方图如下图1所示，该直方图中最大矩形面积为12，如阴影部分所示：

问题分析

矩形的面积等于宽 * 高，因此只要先确定每个矩形的宽和高就能计算出该矩形的面积。

假如直方图中的一个矩形从下标 i 的柱子开始，到下标 j 的柱子结束。

如何确定这个矩形的宽高？

宽：(j - i + 1) * 1;
高：i 到 j 范围内高度最小的柱子的高度为该矩形的高。

例如，图1中从下标为2（i=2）的柱子到下标为4（j=4）的柱子之间的矩形的宽度为 4-2+1=3；高为 4（三根柱子之间最小的高度为 4）。所以面积为 4*3=12。

暴力破解（枚举）

假如能枚举直方图中所有的矩形，并比较它们的面积，便能找到最大的矩形面积。利用两重循环就能实现。代码如下：

 
 时间复杂度分析： 
 如果输入数组的长度为 n，直方图中总共有 O(n²) 个矩形。 
 计算矩形的面积需要O(1)的时间，那么这种解法的时间复杂度为O(n²)。 
 进行优化 
 从左到右的遍历是免不了的。假如以当前柱子的高度为高 h_i，当前柱子与其他柱子组成的矩形最大，面积为  maxArea_i。依次比较 maxArea_i，就可以得到问题的解。 
 怎么确保以当前柱子的高度为高时，矩形的面积最大？ 
 那么对于每一个柱子，求解它左右的第一个小于它的元素。 
 什么意思呢？以下标是 3 的柱子为例：该柱子的高度为 4，左边第一个小于 4 的柱子是下标为 2 的柱子，右边第一个小于 4 的柱子是下标为 5 的柱子。当下标为 3 时，最大的矩形如图的阴影部分所示: 
  
 以下是各个柱子所能达到的最大的矩形： 
 1. i = 0 时： 
  
 2. i = 1 时： 
  
 3. i = 2 时： 
  
 4. i = 3 时： 
  
 5. i = 4 时： 
  
 6. i = 5 时： 
  
 7. i = 6 时： 
  
 8. i = 7 时： 
  
 那么对于每一个柱子，该如何求解它左右的第一个小于它的元素呢？这里就用到了单调栈了。 
 什么是单调栈法 
 单调栈是一种和单调队列类似的数据结构。 
 单调队列主要用于 O(n) 解决滑动窗口问题，单调栈则主要用于 O(n) 解决NGE问题（Next Greater Element）。 
 也就是，对序列中每个元素，找到下一个比它大的元素。（当然，“下一个”可以换成“上一个”，“比它大”也可以换成“比他小”，原理不变。） 
 在这个例子中，我们要求解每个点左右的第一个小于它的元素，即 NSE 问题（Next Smaller Element）。 
 这比单调队列还简单一点： 
  
  我们维护一个栈，表示“待确定 NSE 的元素”，然后遍历序列。 
  当我们碰上一个新元素，我们知道，越靠近栈顶的元素离新元素位置越近。所以不断比较新元素与栈顶，如果新元素比栈顶小，则可断定新元素就是栈顶的 NSE，于是弹出栈顶并继续比较。 
  直到新元素不比栈顶小，再将新元素压入栈。显然，这样形成的栈是单调递增的。 
  
 单调栈法的具体实现 
 1. 完整代码： 
 
 
 2. 模拟一下示例的过程： 
 初始输入： 
 $heights = [3,2,5,4,6,1,4,2]; 
 $stack   = [-1]; -1 可以理解为整个直方图最左边的一个高度为0，下标为 -1的柱子。如图： 
  
 说明： 
 $stackPeek = array_peek($stack);（栈顶，数组的最后一个元素） 
  
   
    
    $i 
    $hights[$i] 
    $stackPeek 
    $heights[$stackPeek] 
    动作 
    $stack 
    
   
   
    
    0 
    3 
    -1 
    不存在 
    $i=0入栈 
    [-1,0] 
    
    
    1 
    2 
    0 
    3 
    0出栈 
    [-1] 
    
    
    1 
    2 
    -1 
    不存在 
    $i=1入栈 
    [-1,1] 
    
    
    2 
    5 
    1 
    2 
    $i=2入栈 
    [-1,1,2] 
    
    
    3 
    4 
    2 
    5 
    2出栈 
    [-1,1] 
    
    
    3 
    4 
    1 
    2 
    $i=3入栈 
    [-1,1,3] 
    
    
    4 
    6 
    3 
    5 
    $i=4入栈 
    [-1,1,3,4] 
    
    
    5 
    1 
    4 
    6 
    4出栈 
    [-1,1,3] 
    
    
    5 
    1 
    3 
    4 
    3出栈 
    [-1,1] 
    
    
    5 
    1 
    1 
    2 
    1出栈 
    [-1] 
    
    
    5 
    1 
    -1 
    不存在 
    $i=5入栈 
    [-1,5] 
    
    
    6 
    4 
    5 
    1 
    $i=6入栈 
    [-1,5,6] 
    
    
    7 
    2 
    6 
    4 
    6出栈 
    [-1,5] 
    
    
    7 
    2 
    5 
    1 
    $i=7入栈 
    [-1,5,7] 
    
   
  
 遍历完数组之后，栈中还剩下一些“待确定NSE的元素”，不过已经没有比这些元素更矮的柱子了，所以只需要依次出栈即可，直到栈顶的值为 -1。 
  
   
    
    $stack 
    $stackPeek 
    等于-1？ 
    动作 
    
   
   
    
    [-1,5,7] 
    7 
    否 
    出栈 
    
    
    [-1,5] 
    5 
    否 
    出栈 
    
    
    [-1] 
    -1 
    是 
    结束 
    
   
  
 时间复杂度 
 假设输入数组的长度为 n。直方图的每根柱子都入栈、出栈一次，并且在每根柱子的下标出栈时计算以它为顶的最大面积，这些操作对每根柱子而言时间复杂度是O(1)，因此这种单调栈法的时间复杂度是O(n)。 
 总结 
 这里得到的一个通用思路就是： 
 利用单调栈的特性，可以在线性时间内求得每一个点它的左右第一个比它大/小的点。 
 类似问题 
 1. 矩阵中的最大矩形问题。 
 2. 每日温度。 
 3. the next greater number 问题。 
 参考资料 
 1. 《剑指offer》 
 2. 《单调栈的两个应用问题（最大矩形）》 
 3. 《算法学习笔记(67): 单调栈》

$i	$hights[$i]	$stackPeek	$heights[$stackPeek]	动作	$stack
0	3	-1	不存在	$i=0入栈	[-1,0]
1	2	0	3	0出栈	[-1]
1	2	-1	不存在	$i=1入栈	[-1,1]
2	5	1	2	$i=2入栈	[-1,1,2]
3	4	2	5	2出栈	[-1,1]
3	4	1	2	$i=3入栈	[-1,1,3]
4	6	3	5	$i=4入栈	[-1,1,3,4]
5	1	4	6	4出栈	[-1,1,3]
5	1	3	4	3出栈	[-1,1]
5	1	1	2	1出栈	[-1]
5	1	-1	不存在	$i=5入栈	[-1,5]
6	4	5	1	$i=6入栈	[-1,5,6]
7	2	6	4	6出栈	[-1,5]
7	2	5	1	$i=7入栈	[-1,5,7]

《剑指offer》之利用单调栈法求直方图最大矩形面积

问题描述

问题分析

暴力破解（枚举）

进行优化

什么是单调栈法

单调栈法的具体实现

1. 完整代码：

2. 模拟一下示例的过程：

时间复杂度

总结

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参考资料

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