科普拓扑

摘要：本文中主要从诺奖谈起，结合自己对拓扑的一些性质，简单介绍拓扑在物理上的应用和定义。

关键词：拓扑

近年来，特别是2016年诺贝尔奖戴维·索利斯（DavidJ.Thouless），迈克尔·科斯特利茨（F.DuncanM.Haldane），邓肯·霍尔丹（J.MichaelKosterlitz）这三位科学家大胆地将拓扑学概念应用到物理学，给他们后来的发现起到了很大的作用，拓扑（Topology）一词在物理学领域出现的频率也是越来越高，其中如下图，有统计显示有关于拓扑的TKNN（Konmoto Thouless  M.P. Nightingale  M. den Njs）相变近年来的引用次数。（图片来源于牛谦教授讲课的PPT）

图片来自牛谦教书的PPT

可如何通俗的来向大众们介绍什么是拓扑？这也是一个很经典的问题，从2016年以来，各个网络和自媒体都推出关于拓扑的文章，我个人也看过微信公众号、知乎等平台的网络文章，这里我也想跟大家简单介绍一下，不是为了物理，单单是为了别人问我的时候我能给一个起码的答案，而不是凌驾于专业术语之上的高屋建瓴般的物理“学者”眼中的神奇。

从历史角度来说，拓扑一词原属于数学家的专属。百度百科上说，拓扑一词，直译是地质学，最早出现在十八世纪，正式提出大约在十九世纪（图片来自于网络）。其基本数学定义为设X是一个非空集合，X的一个幂集族T称为X的一个拓扑。如果它满足 ：

1．X和空集{}都属于τ；

2．τ中任意多个成员的并集仍在τ中；

3．τ中有限多个成员的交集仍在τ中。

称集合X连同它的拓扑τ为一个拓扑空间，记作（X,τ）。则称τ中的成员为这个拓扑空间的开集。

图片来自于网络

说实话，这样的定义在网络上很多，专业术语也很多，你看不懂，当然我也看不懂。那接下来就说一些大家都可以听得懂的话。拓扑在数学上可以通俗的定义为物理的几何形状在联系形变中不会发生改变的性质，对研究队形的长短，大小和面积体积等度量性质无关。如下图所示，举个例子，图中的三维球体，我们经过联系形变之后可以变成椭球体甚至是不带把的杯子，或者我们可以把一个三维的圆环变成一个轮胎或者甜甜圈，甚至是一个带把的杯子。根据上面的基本定义，我们就可以认为图中的变化前后的这些物体具有相似的拓扑性。如果我们反过来从找相似的角度

来说，第一类的特点是没有洞的存在，一个三维的空间曲面隔绝了“外面”和“里面”的世界，内部空间也是凝聚在一起，没有形成环或者其他的结构；而第二类的特点在于有一个“洞”的存在，而我们不管如何假设连续性的形变，都不可能将其消除，如图所示，以此类推……这样，我们就可以简单的根据有没有“洞”这个外部较为明显的区别判断物理是否具有相同的拓扑性质。说到这里，我们终于要谈到物理学，在物理学上，我们把“洞”的个数称之为“亏格”，也就是说上面的第一类亏格为0，第二类亏格为1……物理学喜欢在变化的规律中寻找不变性，所以我们又把这个可以描述一类物质的数字称之为拓扑不变量。

没错，近年来的物理“热搜名词”，比如“拓扑绝缘体”、“拓扑相”、“量子拓扑”等都是在拓扑的基本定义上，为了区别经典物理而引发出来的一系列研究。拿拓扑绝缘体来说，不管你学过没学过物理都该知道我们都知道我们是可以用干燥的木棒，塑料物品等去推电闸，更多的带电器件开关部分都会提示禁止沾水。那是因为水是导体，而干燥的木棒，塑料等是绝缘体。而我们这里要说的拓扑绝缘体可能跟平常的认识不一样，它是一类边界表面可以导电，而内部无法导电跟普通绝缘体无异。而这是跟电子在金属内部的运动相关，如图所示为拓扑绝缘体内部电子运动的基本情况。如果一定要解释的话，是要牵扯到量子霍尔效应和量子自旋霍尔效应，那就很物理的，这里就不跟大家做过多的介绍。

图片来自于沈先生的《拓扑绝缘体》

总而言之，我写这个文章只是跟大家简单介绍一下什么是拓扑？至于其中如果有涉及到物理知识上的错误，还请君批评雅正！

参考文献：                                                                                                         

【1】 Shun-Qing Shen,Topology Insultors(1sted),[M],Springer,2012