【Java算法系列】分治算法（一）

【写在前面】

“Java算法系列”目录如下（更新ing）：

• 数据结构相关算法
• 八大排序算法：冒泡排序、选择排序、插入排序、希尔排序、快速排序、归并排序、基数排序、堆排序
• 四大查找算法：线性查找、二分查找、插值查找、斐波那契查找
• 九大常用算法：分治算法、动态规划算法、KMP算法、贪心算法、Prim算法、Kruskal算法、Dijkstra算法、Floyd算法、骑士周游回溯算法

本篇为九大常用算法之分治算法。

分治算法的步骤

分治算法在每一层递归上都有三个步骤：

1. 分解：将原问题分解为若干个规模较小、相互独立、与原问题形式相同的子问题。
2. 解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解决，否则递归地求解各个子问题。
3. 合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。

分治算法的经典例题

分治算法可以求解的经典问题包括：

1. 二分搜索（待补充）
2. 大整数乘法
3. Strassen矩阵乘法
4. 棋盘覆盖
5. 合并排序（待补充）
6. 快速排序（待补充）
7. 线性时间选择
8. 最接近点对问题
9. 循环赛日程表
10. 汉诺塔

下面以“汉诺塔问题”为例说明分治算法的思想。

汉诺塔问题

有三根杆子A、B、C。A杆上有若干盘子。每次移动一块盘子，小的只能叠在大的上面。把所有盘子从A杆全部移到C杆上。

设n为盘子的数量。

• 对于 n=1 的情况，直接将盘子从A杆移动到C杆。

• 对于 n≥2 的情况，可以将问题分解为：

  • 把 n-1 个盘子从A移动到B；
  • 把第 n 个盘子从A移动到C；
  • 把 n-1 个盘子从B移动到C。

  

  那么，怎么把 n-1 个盘子从一根杆子移动到另一根杆子上呢？可以先把 n-2 个盘子先移动，再移动第 n-1 个盘子……这就是分治法的思想。

因此可以很容易地写出汉诺塔问题的算法：

public class HanoiTower {

    public static void main(String[] args) {
        int n = 5;
        hanoiTower(n, 'A', 'B', 'C');
    }

    public static void hanoiTower(int num, char a, char b, char c) {
        // 对于 n = 1 的情况，直接将盘子从A杆移动到C杆。
        if (num == 1) {
            System.out.println("第" + num + "个盘: " + a + " -> " + c);
        }
        // 对于 n ≥ 2 的情况
        else {
            // 把 n - 1 个盘子从A移动到B；
            hanoiTower(num - 1, a, c, b);
            // 把第 n 个盘子从A移动到C；
            System.out.println("第" + num + "个盘: " + a + " -> " + c);
            // 把 n - 1 个盘子从B移动到C。
            hanoiTower(num - 1, b, a, c);
        }
    }
}

参考资料

1. 尚硅谷：Java数据结构与算法
2. 分治算法详解及经典例题