高计及stata应用陈强版第5章_大样本OLS

5.1 为何需要大样本理论

（1）小样本理论假设过强。如小样本的严格外生性假定要求解释变量与所有的扰动项正交，大样本只要求解释变量与当期的扰动项不相关即可
（2）在大样本下，必须要求统计量的精确分布，大样本只需研究精确分布
（3）大样本理论要求样本量在n≥30，越多越好

5.2 随机收敛

1. 依概率收敛convergence in probability
   或含义：与之差趋于0
2. 确定性收敛almost sure convergence：
   含义：Almost sure的意思是，当n趋向于无穷，收敛到的概率为1
   备注：确定性收敛可以推导出依概率收敛
3. 依均方收敛convergence in L(k) norm (k=2即均方收敛)：

• 如果，并且,即期望趋于稳定，方差趋于0，则称随机序列依均方收敛于常数a；
• 如果把a换成其他随机序列，记为，表示两个随机变量的距离随着n趋向于无穷而变为0。均方收敛可以推出依概率收敛

4. 依分布收敛convergence in distribution (D)：
   已知是随机序列的累积分布函数，是随机变量的累积分布函数，如果对于任意实数x，都有，则称：随机序列依分布收敛于随机变量，记为：
   

5.3 大数定律和中心极限定理

1. 弱大数定律
   假定为独立同分布的随机序列，且，,则样本均值
   含义：样本无限大时，样本均值趋近于总体均值
2. 中心极限定理
   含义：中心极限定理指的是给定一个任意分布的总体。我每次从这些总体中随机抽取 n 个抽样，一共抽 m 次。 然后把这 m 组抽样分别求出平均值，这些平均值的分布接近正态分布

• 一维情况：
  
  或
• 多维情况：
  

5.4 统计量的大样本性质

1. 均方误差

• 抽样误差：sampling error=
• 以估计量来估计参数，则其“均方误差”（Mean Squared Error，简记为MSE）为MES（）=

2. 一致估计量
   定义：如果,则称估计量是参数的一致估计量
   含义：当样本容量足够大的时候，依概率收敛到参数，在大样本估计中，一致性比无偏性更重要
3. 渐近正太分布和渐近方差
4. 渐近有效

5.5渐进分布的推导

5.6随机过程的性质

1. 平稳过程：统计特性不随时间的推移而变化的随机过程
2. 严格平稳过程（strictly stationary process）指：对任意m个时期的时间集合，随机向量的联合分布等于随机向量的联合分布，其中k为任意整数。
   含义：将中每个变量的下表都前移或后移k期，其分布不变
3. 弱平稳过程（weakly stationary process）或协方差平稳过程（covariance stationary process）指：弱平稳过程的期望和房产均为常数，特别的，当期望和方差均为常数0时，称为“白噪声”

• 白噪声（AWGN）就是平稳过程，铙钹的敲击声是非平稳的。尽管铙钹的敲击声基本上是白噪声，但是这个噪声随着时间变化：在敲击前是安静的，在敲击后声音逐渐减弱

4. 渐近独立性：举个例子，今年的通胀率显然与去年的通胀率相关，不会相互独立，但是今年的通胀率和100年以前的通胀率可以看做近似独立的，则成为“渐近独立”，记为：
   
   直观来看：渐近独立意味着只要两个随机变量距离足够远，就可以近似认为他们是独立的

5. 如果随机过程满足则称随机过为“鞍”
   理解：资本市场有效理论认为，所有关于未来价格的已知信息已经反映在了当期价格上，故有,因此尝试预测价格的未来走势是徒劳的，但是如果信息不对称，则这个结论不一定正确

6. 若随机过程满足则称随机过程为“鞍差分序列”，这意味着的均值独立于它所有过去的值

7. 鞍差分序列的中心极限定理（central limit theorem for ergodic stationary MDS）：假设为渐近独立的平稳鞍差分随机向量过程，且其协方差矩阵为,记,则有：
   

5.7 大样本OLS的假定

（1）线性假定
（2）渐近独立的平稳过程
（3）前定解释变量：即所有的解释变量都与同期的扰动项正交，即

（4）秩条件：逆矩阵存在，这个条件时为了保证大样本条件下存在
（5）关于鞍差分序列的假定:为鞍差分序列，其其协方差矩阵为非退化矩阵

• 大样本不要要界定“严格外生性”和“正太随机扰动项”，因此模型更具适用性和稳健性

5.8 OLS的大样本性质

5.9 线性假设的大样本性质

5.10 大样本OLS的stata命令及实例

使用稳健标准误进行回归的命令：

reg  y x1 x2 x3,robust