【算法】路径规划中的Dijkstra(狄克斯特拉)与A星算法

1. Dijkstra算法

• Dijkstra算法是求单源最短路径问题的算法，使用它可以求得从起点到终点的路径中权重总和最小的那条路径。
• Dijkstra的主要特点是以起始点为中心向外层层拓展（广度优先搜索思想），直到拓展到终点为止。
• 单源：从一个顶点出发，Dijkstra算法只能求一个顶点到其他点的最短距离而不能任意两点。

现在我们假设有下列的一副图，求起始点A到终点G的最短路径。其中边上面的数据表示权重，初始时刻，从起始点A开始，A的顶点值为0，其他顶点为无穷大（∞）。

寻找可以从目前所在的顶点直达且尚未被搜索过的顶点，此处为顶点B和顶点C，将它们设为下一步的候补顶点。并计算候补顶点的权重。比如起点A的权重是0，那么顶点B的权重就是0+2=2。用同样的方法计算顶点C，结果就是0+5=5。

如果计算结果小于候补顶点的值，就更新这个值。顶点B和顶点C现在的权重都是无穷大，大于计算结果，所以更新这两个顶点的值。更新步骤如下图：

从候补顶点中选出权重最小的顶点，并移动到最小顶点处。此处B的权重最小，那么路径 A-B 就是从起点 A 到顶点 B 的最短路径。因为如果要走别的路径，那么必定会经过顶点 C，其权重也就必定会高于 A-B 这条路径。

和上一步一样，更新顶点B的候补顶点，它的候补顶点为C、D和E，因为起初D和E都是无穷大，所以可以更新它。从B到C的权重为2+6=8，比C当前的权重5大，因此不更新这个值。在C、D和E中选取权重最小的顶点，也就是D。步骤如下图：

要重复执行同样的操作直到到达终点G为止。移动到顶点D后算出了E的权重，然而并不需要更新它（因为 3+4=7）。现在，两个候补顶点C和E的权重都为5，所以选择哪一个都可以。 此处我们选择C，于是起点A到顶点C的最短路径便确定了。然后移动到C点后，F成了新的候补顶点。

此时候补顶点中，E为5（因为上一步中我们选择了C，所以E依旧是候补顶点），F为13，所以我们选择权重更小的E，起点A到顶点E的最短路径也就确定了下来。此时候补顶点为G和F。

候补顶点为G为14，F为13，所以移动到F。如下图所示。

移动到F后，只剩下一个候补顶点G了，也就是终点G，顶点G的权重计算结果为13+7=20，比现在的值 14 要大，因此不更新它。也就找到了A到G的最短路径，也就是下图红色顶点标注位置A-B-E-G。

2. A星算法

A*（A-Star）算法也是一种在图中求解最短路径问题的算法，由狄克斯特拉算法发展而来。狄克斯特拉算法会从离起点近的顶点开始，按顺序求出起点到各个顶点的最短路径。也就是说，一些离终点较远的顶点的最短路径也会被计算出来，但这部分其实是无用的。与之不同，A* 就会预先估算一个值，并利用这个值来省去一些无用的计算。

我们先用狄克斯特拉算法求解下图中从起始点到终点最短路径。可以将每个方块都看做一个顶点，而各顶点之间的距离为1。 更新图的结果如下图所示。

狄克斯特拉算法只根据起点到候补顶点的距离来决定下一个顶点。因此，它无法发现蓝色箭头所指的这两条路径其实离终点越来越远，同样会继续搜索。

而A*算法不仅会考虑从起点到候补顶点的距离，还会考虑从当前所在顶点到终点的估算距离(启发式)。这个估算距离可以自由设定，此处我们用的是将顶点到终点的直线距离四舍五入后的值，如下图所示。

下面介绍A*算法的步骤。

首先把起点设为搜索完毕状态。搜索完的点都用蓝色表示。分别计算起点周围每个顶点的权重。计算方法是“从起点到该顶点的距离”（方块左下）加上“距离估算值”（方块右下）。

选择一个权重最小的顶点，用橙色表示，并将选择的顶点设为搜索完毕状态。

计算搜索完毕的顶点到下一个顶点的权重。选择距离最短的一个顶点。

将选好的顶点设为搜索完毕状态。之后重复上述操作，直到到达终点为止。

搜索完毕。效率比狄克斯特拉算法的高了很多。

距离估算值越接近当前顶点到终点的实际值，A* 算法的搜索效率也就越高；反过来，如果距离估算值与实际值相差较大，那么该算法的效率可能会比狄克斯特拉算法的还要低。如果差距再大一些，甚至可能无法得到正确答案。不过，当距离估算值小于实际距离时，是一定可以得到正确答案的（只是如果没有设定合适的距离估算值，效率会变差）。

A* 算法在游戏编程中经常被用于计算敌人追赶玩家时的行动路线等，但由于该算法的计算量较大，所以可能会使游戏整体的运行速度变慢。因此在实际编程时，需要考虑结合其他算法，或者根据具体的应用场景做出相应调整。

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参考：《我的第一本算法书》