函数式编程与范畴论

引言

如果要领会函数式编程的思想，不可避免的会接触到一个概念 Monad（单子），单子概念的理解对函数式编程的领会有着至关重要的作用，函数式编程大 神Phillip Wadler 说过一句话，"A monad is just a monoid in the category of endofunctors”, 翻译过来就是 “一个单子不就是自函子范畴上的幺半群么”。简单的一句话扯出了这篇系列文章的主题，范畴。

范畴论

范畴论在维基百科中的解释为，范畴论是数学的一门学科，以抽象的方法来处理数学概念，将这些概念形式化成一组组的“物件”及“态射”。这里提到了两个词“物件”即对象（Object）和态射(morphism)。对于非数学科班来理解这些概念可能有些枯躁，我尽快把这些概念带入我们熟悉的编程领域去解读。简单来讲，范畴论就是研究对象以及对象之间的态射。

什么是范畴

范畴就是一系列之间存在关系的对象所组成的一个“集合”。这里对象之间的关系就是态射。范畴由以下部分组成：

• 一系列的对象(object).

• 一系列的态射(morphism).

• 一个组合(composition)操作符，用点(.)表示，用于将态射进行组合。

  可以用下图来表示

上图中表示了一个范畴，里面有 A, B, C, D 四个对象，我用箭头代码了每个对象之间的变换，即态射，其中对象 A 标示出了一个特殊的，称为单位态射的态射 id(A)，其它对象也都有单位态射。这个范畴描述了，对象 A 可以通过态射 f 变换为 B，B 通过态射 g 可以变换为 C，B 还可以通过其它态射变换为 D，也就是 A 通过一系列态射变换为 C。这一系统变换与 h 等价，也就是 h = g.f 。记住顺序，从右向左。这就是组合操作，也就是范畴的本质是组合，很重要。
推理得到，任何一个态射与目标对象的单位态射组合，都是这个态射本身。

编程领域的一个范畴

我们通过范畴论来举一个编程领域的通用例子，直接与编程中一些概念联系起来。假设我们有个==类型==的范畴，它里面的对象都是编程中的一些类型，如 int, string, bool 等，如下

string 类型可以通过一个态射变换为 int, int 可以通过一个态射变换为 bool， 这两个态射可以是函数，如下:

int f(string s) {
    return s.ToInt();
}

bool g(int i) {
    return i == 0 ? false : true;
}

std::function h = [](string s) -> bool {
    return g(f(s));
}

那么态射 h 在这个类型范畴中是以一个函数对象的形式存在，因为兼顾 C/C++ 程序员的熟悉领域，这些代码主要以伪 C/C++ 的形式给出，由于 C/C++ 没有提供一些函数式编程的语法支持，所以有时会比较别扭。g.f 的组合就体现在 h 的定义中，我们直接调用 h(“7”)，就相当于从 string->bool了。

柯里化

大家不难看出这个函数都是输入一个对象，输出一个对象，这是理想情况，但大多数情况都会有多个参数，这个时间就需要用柯里化(Currying) 来处理。
这里依然拿 C++ 中 std::function 来举例，在 std::function 中如果有一个函数需要两个参数，如

bool h1(string, string);

我们总是可以传入一个参数后，然后产生一个新的函数对象，这得益于 C++ 模板的一些偏特化特性。比如:

std::function (string)> h = std::bind(&h1, "Oops", _1);
h("7");

当然也可以像下面这种做法

std::function<bool (string)> h(string) {
    return [](string s) -> bool {
        return g(f(s));
    };
}

h("Oops")("7");

所以说多输入总是能够通过柯里化，转换为单输入单输出，这样就可以转换为范畴里面，对象之间的转换了。

结束语

很多种思想其实都能在编程领域找到实践的影子，编程其实就是对现实世界的抽象，这也是编程的难点所在。这篇文章里引出了范畴论的概念，大家对范畴有了一个基本的认识，基于这些基本的认识，我们慢慢引出一些重要的概念和思想。