零基础 学 零知识证明

近期有小伙伴咨询零知识证明入门问题，现就本人（非密码学专业小白） 学习零知识证明 进行小总结：

• 关于数论和椭圆曲线基础知识：可以看《Elliptic Curves Number Theory and Cryptography（second edition）》，有助于扫盲。

• 实用的数学软件：sageMath（开源免费）、Magma（需授权），但是Magma提供了在线版本供免费使用：Magma Calculator。

• 关于同态算法：所谓同态算法，是指基于密文的运算可反应明文的真实关系，常用于零知识证明的验证环节。如$e(g^x,g^y)=e(g,g^{xy})$具有乘法同态属性，$g^x\cdot g^y=g^{x+y}$具有加法同态属性。

• 关于pairing：pairing具有同态乘法属性，pairing算法可分为eta pairing、ate pairing、Weil pairing、Tate pairing等等，具体的pairing算法基础，可参看 Craig Costello的《Pairings for beginners》，内附Magma代码，直观好懂。

• 关于commitment：可以参看《From Zero (Knowledge) to Bulletproof》，理解椭圆曲线下的pedersen commitment 具有 加法同态属性。也可参看本人博客 椭圆曲线形式下的Pedersen commitment——vector commitment和polynomial commitment
  

• 关于group：通常接触的group有：pairing-friendly group、unknown order group、known order group等。

• 关于密码学假设：密码学假设是指某个数学难题，假设其很难解决，常见的数学难题有 discrete logarithm problem、factoring、pairing、lattice等等。可参见 2013年报告《Final Report on Main Computational Assumptions in Cryptography》，也可参见本人博客 主流的密码学 hardness/computational 假设。

• 关于编程语言：github上 C++、Rust、Go、Python、Haskell等相应的实现都不少，最新的一些论文算法实现很多都是基于Rust的。Rust为系统安全的静态语言，如果有志于当coder，值得学习。

• 零知识证明资料库：Awesome zero knowledge proofs (zkp) 中包含了当前各种主流的零知识证明算法，可选择感兴趣的方向深入了解。

• 零知识证明中的角色：
  Prover：知道秘密的那个人。
  Verifier：不知道秘密，但是想要求证Prover是否真的知道该秘密。
  举个例子：
  – public instance：$y,g$（Verifier和Prover都知道）
  – witness：$x$ （仅Prover知道）
  – relation：$y=g^x$（Verifier想求证的关系 或 Prover想证明的关系）
  经典的证明方式为利用 sigma protocol（核心思想为commit-and-prove），详细可参看本人博客 基于Sigma protocol实现的零知识证明protocol集锦
  。

• 零知识证明的应用：
  如隐藏区块链中的交易金额、交易对手方等（Monero/Zcash）；
  压缩存储空间（如Filecoin）;
  多方安全计算；
  算力外包；
  黑名单、白名单访问控制；
  隐私计算等等。