Leetcode 357.计算各个位数不同的数字个数（Count Numbers with Unique Digits）

Leetcode 357.计算各个位数不同的数字个数

1 题目描述（Leetcode题目链接）

  给定一个非负整数 n，计算各位数字都不同的数字 x 的个数，其中 $0\le x<10^n$ 。

输入: 2
输出: 91 
解释: 答案应为除去 11,22,33,44,55,66,77,88,99 外，在 [0,100) 区间内的所有数字。

2 题解

  动态规划，首先$n=0$时，就只有一个数，$n=1$时都是个位数，因此就是$10$。$n=2$开始，数的个数增加了$n$位数，比如$n=2$时增加的是$[10,99]$，$n=3$时增加的是$[100,999]$。

  因此我们定义$dp[i]$表示$n=i$时各个位数不同的数字个数，根据上面的分析，有$dp[i]=dp[i-1]+??$，问号部分就是增加的那部分中各个位数不相同的数字个数，我们拿$n=3$来举例，在增加的$[100,999]$中，我们可以把它分成两部分，把前两位看作单独的数字，那也就是$[10,99]$，我们会发现这是$n=2$时照比$n=1$时增加的数字，个位可以取值的个数是$[0,9]$共10个数字，还需要减去前两位出现过的，也就是$10-2=8$。这二者相乘便是$n=3$时增加的$[100,999]$中各个位数不相同的数字个数。

$$dp[i]=dp[i-1]+(10-(i-1))\ast (dp[i-1]-dp[i-2])$$

class Solution:
    def countNumbersWithUniqueDigits(self, n: int) -> int:
        if n == 0:
            return 1
        dp = [0]*(n+1)
        dp[0], dp[1] = 1, 10
        for i in range(2, n+1):
            dp[i] = dp[i-1] + (10-(i-1))*(dp[i-1]-dp[i-2])
        return dp[n]

同时可以优化内存

class Solution:
    def countNumbersWithUniqueDigits(self, n: int) -> int:
        if n == 0:
            return 1
        a, b = 1, 10
        for i in range(2, n+1):
            a, b = b, b + (b-a)*(10-(i-1))
        return b