2-SAT问题相关算法与题目讲解（O(n*m)与O(m)）
2-SAT问题 信息学竞赛 OI ACM O(m) O(nm)
2-SAT问题
张天翔
blog.csdn.net/hzoi_ztx
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前置技能
- 拓扑排序
- 基本逻辑运算
- 强联通分量
问题模型
给出n个布尔值组成的序列 {Ai} ，给出一些限制，每个限制最多针对两个元素（故称为“2-SAT”），先要求确定 A 序列的值以满足所有限制关系。
问题分析
首先列出7种有意义的限制（其实真正有意义的为5个），如下：
-1: Ai=1
-2: Ai=0
-3: Ai AND Aj=0
-4: Ai OR Aj=1
-5: Ai OR(NOT Aj)=1
-6: Ai XOR Aj=1
-7: Ai XOR Aj=0
所有可能的限制条件如下
01: Ai=1 有意义
02: Ai=0 有意义
03: Ai AND Aj=1⇔(Ai=1)AND(Aj=1)(两个限制−1)
04: Ai AND Aj=0 有意义
05: Ai AND(NOT Aj)=1⇔(Ai=1)AND(Aj=0)(限制−1,−2)
06: Ai AND(NOT Aj)=0⇔(Ai=0)OR(Aj=1)⇔(NOT Ai)OR Aj=1(限制−5)
07: (NOT Ai)AND Aj=1⇔限制05
08: (NOT Ai)AND Aj=0⇔限制06
09: (NOT Ai)AND(NOT Aj)=1⇔(Ai=0)AND(Aj=0)(两个限制−2)
10: (NOT Ai)AND(NOT Aj)=0⇔(Ai=1)OR(Aj=1)⇔Ai OR Aj=1(限制−4)
11: Ai OR Aj=1 有意义
12: Ai OR Aj=0⇔(Ai=0)AND(Aj=0)(两个限制−2)
13: Ai OR(NOT Aj)=1 有意义
14: Ai OR(NOT Aj)=0⇔(Ai=0)AND(Aj=1)(限制−1,−2)
15: (NOT Ai)OR Aj=1⇔限制13
16: (NOT Ai)OR Aj=0⇔限制14
17: (NOT Ai)OR(NOT Aj)=1⇔(Ai=0)OR(Aj=0)⇔Ai AND Aj=0(限制−3)
18: (NOT Ai)OR(NOT Aj)=0⇔(Ai=1)AND(Aj=1)(两个限制−1)
19: Ai XOR Aj=1 有意义
20: Ai XOR Aj=0 有意义
21: Ai XOR(NOT Aj)=1⇔Ai XOR Aj=0(限制−7)
22: Ai XOR(NOT Aj)=0⇔Ai XOR Aj=1(限制−6)
23: (NOT Ai)XOR Aj=1⇔限制21
24: (NOT Ai)XOR Aj=0⇔限制22
25: (NOT Ai)XOR(NOT Aj)=1⇔Ai XOR Aj=1(限制−6)
26: (NOT Ai)XOR(NOT Aj)=0⇔Ai XOR Aj=0(限制−7)
实际问题中通常将 {Ai} 序列代表n个物体的选与不选，选则对应布尔值为1。
解决方法
拆点，每个布尔值 Ai 拆成两个点， xi 与 yi ，然后选出一个大小为 n 的点集，使得其满足所有的限制条件（给出的限制条件，以及对应的 xi yi 不能同时在集合中），选择 xi 点代表 Ai=1 (选择此物品)，选择 yi 点代表 Ai=0 (不选择此物品)。
若要选择出来一个点集，需要用模型表示限制关系。
建图，图中的一条边 <u,v> 表示选择了 u 点以后必须要选择 v 点。
那么对有意义的七种关系进行建图如下。
-3: Ai AND Aj=0
两条边 xi→yj,xj→yi
-4: Ai OR Aj=1
两条边 yi→xj,yj→xi
-5: Ai OR(NOT Aj)=1
两条边 xj→xi,yi→yj
-6: Ai XOR Aj=1
四条边 xi→yj,xj→yi,yi→xj,yj→xi
-7: Ai XOR Aj=0
四条边 xi→xj,xj→xi,yi→yj,yj→yi
-1: Ai=1
把 yi 删掉很暴力，所以一条边 yi→xi
-2: Ai=0
把 xi 删掉很暴力，所以一条边 xi→yi
(可以看到限制-6可以由限制-3与限制-4组成，限制-7可以由两个限制-5组成，故说真正有意义的为5个)
这样得到了第一个图。
算法一
为了满足所有的限制条件（给出的限制条件，以及对应的 xi yi 不能同时在集合中），可以对每一对未确定的 (xi,yi) ，先选其一，并选定对应必须要选的点，如果最后不矛盾，则成功，否则尝试选另一点，若不矛盾则成功，否则无解。
这样做正确性显然，但是时间复杂度 O(nm) ，较高。
算法二
思考，这是一个有向图，而且是“对称”的（也就是说按照上述方式对每一个限制条件建边，如果存在 xi→xj 必定存在 yj→yi ，如果存在 xi→yj ，必定存在 xj→yi ，如果存在 yi→xj ，必定存在 yj→xi 等等，这些边是“对称”的），如果图中出现一个环，那么这个环上所有点必须同时被选或被不选，而且这个环会有与之对称的一个环（此环上点对应的另一个点在另一个环上，边的连接也相同但是反向）。既然如此，不如强联通分量缩点，并且连边，如果两个点在不同强联通分量，则在这两个强联通分量之间连有向边，与原来的边方向相同，这样，图变成了一个拓扑图，这是第二个图。此时，如果存在一组 (xi,yi) 同时在一个强联通分量中，显然无解；如若不然，一定有解，证明略，按一定方法求解。
将强联通分量称作 Si ，与之对称的连通分量称作 S′i 。分析图的性质，对于任意的一对 (Si,S′i) ， Si 的所有后代节点（此点通过有向边连通到的所有点）与 S′i 的前代节点（通过有向边连通到此点的所有点）是“对称”的。
若选则某个 Si 中的点，那么所有的 Si→Sj ， Sj 都要被选择，而 S′i 必定不可选，所有 S′i 的前代节点都不可选。那么每次找到一个未确定是否选择的 Si ，选择其所有后代节点，并删除 S′i 及其所有前代节点，但每次盲目找一个未被确定的 Si 复杂度较高，可以以自底向上的顺序进行选择与删除，这样就免去了“选择 Si 的所有后代节点”（只用不断删除）。
那么算法流程图：
时间复杂度 O(m) ，具体实现看例题。
例题
一般2-SAT问题【O(n)】
求字典序最小的方案【O(nm)】
[COGS2443] [HZOI 2016]MC之旅：逃离基友
参考资料
2-SAT问题及其算法
由对称性解2-SAT问题