B树 学习笔记3 - 从B树上中删除关键字

接上，算法导论 - 18.3 从B树中删除关键字
这一节没有给出伪代码，写起来怕是会有坑，放点参考：
https://www.youtube.com/watch?v=svfnVhJOfMc
https://www.geeksforgeeks.org/b-tree-set-3delete/ (含代码)

在删除关键字时，要重新安排这个结点的孩子，并且必须保证一个结点不会再删除期间变得太小。

过程 B-TREE-DELETE 从以 x x 为根的子树中删除关键字 k k 。
我们设计的这个过程必须保证，无论何时，结点 x x 递归调用自身时， x x 中关键字个数至少为 t t (即比最少要求多一个以上)。

这个加强的条件使得将一个关键字删除时，可以不用向上回溯(有一个例外，稍后解释)。

B-TREE-DELETE( x, k x ,   k ) 过程：

1. 如果关键字 k k 有可能在结点 x x 中，并且 x x 是叶结点，若可能则从 x x 中删除 k k 。

2. 如果关键字 k k 在结点 x x 中，并且 x x 是内部结点，则做一下操作：
a. 关键字 k k 前的结点 y y ，若 y y 的关键字多于 k k 个，则找出关键字 k k 的前驱 k′ k ′ ，递归地删除 k′ k ′ ，并在 x x 中用 k′ k ′ 替换 k k 。
b. 关键字 k k 后的结点 z z ，若 z z 的关键字多于 k k 个，则找出关键字 k k 的后继 k′ k ′ ，递归地删除 k′ k ′ ，并在 x x 中用 k′ k ′ 替换 k k 。
c. 无法删除，( y, z y ,   z 结点关键字不能减少)，则将 y, z, k y ,   z ,   k 合并，然后释放 z z 并递归地从 y y 中删除 k k 。

3. 如果关键字 k k 当前不在内部结点 x x 中，则确定可能包含 k k 的子树的根 x.ci x . c i 。如果 x.ci x . c i 只有 t−1 t − 1 个关键字，必须执行步骤 3a 或 3b 来保证降至一个至少包含 t t 个关键字的结点。然后通过对 x x 的某个合适的子结点进行递归而结束。
a. 如果 x.ci x . c i 只有 t−1 t − 1 个关键字，但是它的一个相邻的兄弟至少包含 t t 个关键字，则旋转(若是右兄弟就左旋，左兄弟就右旋)，这样 x.ci x . c i 就多了一个关键字。
b. 如果 x.ci x . c i 以及 x.ci x . c i 的所有相邻兄弟都只包含 t−1 t − 1 个关键字，则将 x.ci x . c i 与一个兄弟合并。(即将 x.ci x . c i 旁边的一个关键字下推，合并到新结点，成为中间关键字)






由于一棵 B树中的大部分结点都在叶结点中，于是预估删除操作经常用于从叶结点中删除关键字。这样 B-TREE-DELETE 过程只要沿树下降一遍即可不需要向上回溯。
然而，当要删除某个内部结点的关键字时，该过程也要沿树下降一趟，但可能还要返回删除关键字的那个结点，以用其前驱或后继来取代被删除的关键字。


删除操作需要 O(h) O ( h ) 次磁盘操作。所需CPU时间为 O(th)=O(tlogtn) O ( t h ) = O ( t l o g t n ) 。