NBER：疫情中社交隔离的内部和外部效应 | 唧唧堂论文解析

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解析作者 | 唧唧堂经济金融学写作小组： 维垣 审校| 唧唧堂经济金融学写作小组：绵绵 编辑 | 悠悠

专栏介绍

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本文为唧唧堂《新冠病毒主题论文导读专栏》内一篇论文解析，唧唧堂将在本专栏收录发布所有新冠病毒主题的经济金融社会心理等社科类论文解析导读，同时也或将收录部分医学论文。

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本文是针对工作论文《Internal and External Effects of Social Distancing in Pandemic （疫情中社交隔离的内部和外部效应）》的一篇解析（NBER Working Paper 27059）。该论文作者是Maryam Farboodi、Gregor Jarosch和Robert Shimer。

研究背景与问题

从SafeGraph上美国的人口流动数据可以看出，早在各州政府制定社交隔离政策之前，人口聚集行为已经有了大幅的下降。这说明，当政策还没有生效时，人们会自发选择一个最佳的“个体均衡”（本文称为“无为之治”，laissez-faire equilibrium），进行一定程度的社交隔离。另一方面，“无为之治”均衡可能与社会最优均衡相差甚远，这时就需要政府实施隔离政策来积极干预。因此，政策制定者应该分别研究“无为之治”和“积极干预”的特点和利弊。本论文致力于使用传染病学和经济学中经典、正统的模型对上述问题进行讨论。主要有以下发现：

1. “无为之治”确实对疫情有缓和效果，因为人们会通过社交隔离降低他们染病的风险，从而最大化未来的期望效用。

2. 然而，“积极干预”会在疫情一开始就采取比较严厉（但是适度）的隔离措施，这与“无为之治”不同——后者只会在染病风险足够大的时候才会开始社交隔离。这一区别是因为社会计划者考虑了患病的外部性。

3. “积极干预”会持续很久，直到特效药出现；然而，如果特效药不出现，“积极干预”不得不逐渐减弱。因此，“积极干预”均衡下的社交隔离只是进一步延缓疫情爆发，并不能根除疫情。

重要概念

1. 基本繁殖率R0

传染病学中有一个关键概念——基本繁殖率（basic reproduction rate），R0。这个量的意义是疫情初期（此时患病者、康复者占总人数的比例可以忽略不计；换言之，易感者的测度约等于整个人群的测度）某一个患病者所能感染易感者的总数（的期望）。若某个传染病的R0 > 1，疫情初期将会指数式发展；若R0 < 1，则被感染的人数将会从一开始就逐渐下滑，直至清零。SARS（非典型肺炎/重症急性呼吸综合征）的R0大约是3左右；MERS（中东呼吸综合征）在医院的R0为4，而社区中为0.6；此次COVID-19疫情在世界各国爆发时的R0值普遍为2.5左右[Atkeson, 2020]。

2. 有效繁殖率Re

本论文定义了有效繁殖率Re（effective production rate）以定义疫情全程某一个患病者所能感染易感者的总数（的期望）。随着康复者（如果有免疫能力）比例逐渐增大，易感者的比例逐渐减小，可以预计Re一定会逐渐减小（即使是在毫无社交隔离措施的情形中）。本论文将比较“无为之治”和“积极干预”两种情形下Re的相对变化。模型部分将对R0和Re进行正式的定义。

模型

1. 传染病模型

本论文在SIR模型的基础上加上了死亡的可能性，即SIRD模型。总人群分为易感（S）、患病（I）、康复（R，假设有免疫力）和死亡（D）四个状态。易感者S接触到患病者I后有可能会患病；而患病者I有可能康复成为R，也有可能死亡成为D。设人群中易感者比例为N_s，患病者比例为N_i，康复者比例为N_r，死者比例为N_d。设活动强度为a∈[0, 1]，a=1表示完全不隔离，a=0表示完全隔离。在“无为之治”中，每个人都选择自己的活动强度；“积极干预”中，社会计划者为每个人选择活动强度。每个状态的人群都会有对应的“平均活动强度”，令状态i人群的平均活动强度为A_i。

下列微分方程组刻画了疫情期间各状态人群的动态变化：

以上方程组既可以看作是在描绘单位时间内各个状态人群相互转化的测度（即速率），也可以将“状态转化”当作一个事件，从而看作是在刻画某个个体以给定泊松率进行“状态转化”的随机过程。第一行方程表示单位时间内易感者（通过被感染）减少的测度。β是一个感染速率因数。由此可见，感染速率取决于易感人群和患病人群分别的比例和隔离策略（平均活动强度）。第二行方程则是患病者的动态变化，等式右边第一项很明显来自于易感者的患病；第二项则是患病者I康复或死亡的速率γ。

第三、四行方程分别刻画了康复人群R和死亡人群D的动态变化。此处模型将γ进行了稀疏化（thinning，即将患病者I状态变化这一随机过程中的泊松率进行拆分）：π()是患病死亡率，定义为一个与人群中患病比例N_i正相关的函数，用于模拟医疗资源饱和对死亡率的负面影响。另外，本文假设患病者不知道自己患病，但康复者知道自己康复（编者：这是一个模拟无症状感染者、未确诊患者和误诊患者的极端情况。但考虑到大多数国家都没有足够的检测能力，而相当一部分轻症患者以为自己是普通感冒，这一假设好像还颇合理），那么A_i(t) ≡ A_s(t)，a_i(t) ≡ a_s(t)。

定义R0和Re

至此，R0和Re就可以正式定义了。根据之前的描述，R0 = β/γ；而Re由下式给出：

由于患病者自身的状态转变可以理解为一个泊松率为γ的随机过程，因此她患病的“平均时间”为1/γ；分子部分即为她单位时间内感染易感人群S的测度（通俗来讲，也就是感染别人的速度）——时间乘以速度，Re的定义就很自然了。

2. 个体优化问题——“无为之治”

社会中的个人会理性估计自己处于某种状态（S、I和R）的概率，分别记为n_s(t), n_i(t)和n_r(t)。根据之前的假设，个人可以区分自己是否康复，但是无法区分患病或易感。因此，每个人都有两个决策变量（或控制量）——a_r(t),a(t)，分别代表她康复和非康复状态下选择活动强度的时间路径。定义折现率为ρ，假设等待特效药（即能够立即治愈所有I）出现的过程是一个泊松率为δ的过程。至此，我们可以写出个人的优化问题：

服从以下状态量约束（即按照传染病模型来演进）：

状态量（n_s, n_i, n_r）的初值均预先给定。首先对于康复者R而言，a_r(t)≡1；不失一般性，令u(a_r(t))≡0。因此问题的控制量就简化为只有a(t)一个变量。使用最优控制方法，当前值（current value）Hamiltonian为：

其中带有λ的变量为共态变量，分别对应前两个状态量约束（第三个状态量约束即n_r的动态变化可以自动满足）。对Hamiltonian求一阶导数，得出这个问题的最优条件为：

其中比较重要的是第一行条件，它表示在边际条件上，社会活动所得到的效用与被感染的期望损失之间必须相等。该问题的横截条件为：

除此之外，均衡的结构应该是对称的（因为个体的同质化），因此均衡应该满足：

至此，个体优化问题的最优条件已经全部列出。将以上条件整理、简化之后可得下列微分方程组：

给定一组状态量初值，上述微分方程组可以通过数值方法遍历状态量末值并与给定初值匹配的方式求解。