线性基讲解

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1、线性基：

　　若干数的线性基是一组数a1,a2,...ana1,a2,...an，其中axax的最高位的11在第xx位。

　　通过线性基中元素xorxor出的数的值域与原来的数xorxor出数的值域相同。

 

2、线性基的构造法：

　　对每一个数pp从高位到低位扫，扫到第xx位为11时，若axax不存在，则ax=pax=p并结束此数的扫描，否则令p=pp=p   xorxor ax。ax。

 

3、查询：

　　用线性基求这组数xorxor出的最大值：从高往低扫axax，若异或上axax使答案变大，则异或。

 

4、判断：

　　用线性基求一个数能否被xorxor出：从高到低，对该数每个是11的位置xx，将这个数异或上axax（注意异或后这个数为1的位置和原数就不一样了），若最终变为00，则可被异或出。当然需要特判00（在构造过程中看是否有p变为0即可）。例子：(11111,10001)(11111,10001)的线性基是a5=11111a5=11111，a4=01110a4=01110，要判断1111111111能否被xorxor出，1111111111 xorxor a5a5=0=0，则这个数后来就没有是11的位置了，最终得到结果为00，说明1111111111能被xorxor出。

 

 

个人谈一谈对线性基的理解:

　　很多情况下，只有有关异或运算和求最值，就可以用到线性基。线性基有很多很好的性质，比如说如果有很多个数，我们可以构出这些数的线性基，那么这个线性基可以通过互相xorxor，能够构出原来的数可以相互xorxor构出的所有的数。所以可以大大减少判断的时间和次数。同时线性基的任何一个非空子集都不会使得其xorxor和为0，证明也很简单，反证法就可以说明。这个性质在很多题目中可以保证算法合法性，比如：BZOJ2460BZOJ2460。

 

　　构造的方法有点像贪心，从大到小保证高位更大。也比较好理解。就是这几行代码：

　　

for ( int i=1;i<=n;i++) {

    　　　　 for ( int j=62;j>=0;j--) {

        　　　　 if (!(a[i]>>j)) continue ; //对线性基的这一位没有贡献

        　　　　　 　 if (!p[j]) { p[j]=a[i]; break ; } //选入线性基中

        　　　　　　 a[i]^=p[j];

        　　　　 }

    　　　}

 

　　

 

 

 

 

　　可以把nn个数变成只有最大的数的二进制位数那么多个数，这就是线性基的优秀之处。

 

　　查询的话，也是一个贪心思想，如果可以使得ansans更大，就把这一位的基xorxor进ansans。

　　 1 for(int i=62;i>=0;i--) if((ans^p[i])>ans) ans=ans^p[i];//从线性基中得到最大值 

　　这就是线性基的基本用法和个人的一些理解。