图论之三种最短路

第一种,bellman-ford算法;

算法：求单源的两点间最短路。

过程：每次枚举所有已知的边，更新一个点到源点的最短距离，重复V-1次，即可找到各个点离源点的最短距离。

证明：对于从源点出发到任意一点，最差的情况就是算出了前面所有点的最短距离，才能求出该点的最短距离，即把该点看成是V,起点看成是1，那么这两点间最多有V-1条边，对于每条边上的端点，都需要枚举所有的边数E，才能算出该端点距起点1的最短距离。

所以该算法的复杂度为：O(VE). 但是可以用来判断是否存在正环负环，即判断第V次是否还继续更新最短距离。


第二种，DIJ算法.

算法：求单源的两点的最短路。

过程：每次找到最短距离已经确定的点（即在未知的点中与源点距离最短的点），从它出发更新相邻定点的最短距离。此后不需要再关心刚才那个“最短距离已经确定的定点”，重复这两个操作，直到所有点都被确定。

证明：每次遍历used[i]==0的顶点，找到与源点的最短距离d[i]最短的那个点，作为已知点，记为used[i]=1,并进行扩散，更新与它相邻的点的最短距离。为什么呢，因为在未知的点中，每次的那个与源点最近的点，已经不能找到比这个距离更短的边去表示它了，所以这个顶点与源点的最短距离，就是它了。一共要确定V个点，循环V次。

所以该算法的复杂度为：O(V^2)。但是可以用堆来优化，在每次找与源点距离最短的点时，可以用堆来找到最小值。
这样，复杂度就变成了O(ElogV);


第三种，floyd-warshall算法.

算法：求任意两点的最短路。

DP方程：d[k][i][j]表示只使用1~k的顶点和i和j，从顶点i到顶点j的最短路。

递推过程：只使用1~k时，我们分i到j的最短路正好经过顶点k一次和完全不经过顶点k两种情况来讨论。
不经过顶点k的情况下，d[k][i][j] = d[k - 1][i][j];
通过顶点k的情况下，d[k][i][j] = d[k - 1][i][k] + d[k - 1][k][j];
合起来，就可以得到
d[k][i][j] = min(d[k - 1][i][j], d[k - 1][i][k] + d[k - 1][k][j]).
当然，因为k表示的含义比k - 1更广，因此，把第一维数组都用成k的话，那就可以将dp方程简化为：d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
代码实现：

int i, j, k;
	for (k = 1; k <= V; ++k)
	{
		for (i = 1; i <= V; ++i)
		{
			for (j = 1; j <= V; ++j)
			{
				d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
			}
		}
	}

所以该算法的复杂度是O(V^3),是比较高的了，但也可以判断是否存在负环，只需要判断是否存在d[i][j]是负数即可。

综上，单源最短路有Bellman和Dij算法，可判断负环的是Bellman和Floyd算法，求任意两点最短路的只有Floyd算法。可根据实际情况来选用。