ACM-ICPC 2011 Asia Phuket Regional [J] Consecutive Sums

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Also bnu 12614
作为没有oi背景的大四生因为被拉去充数组队，只是为了突击算法，在短期内提高能力，所以并木有代码…

Problem

The sum of p (p>0) consecutive integers can often be equal to the sum of next q consecutive positive integers. For example:

9+10+11+12 = 13+14+15, Here p = 4 and q = 3
4+5+6+7+8 = 9+10+11, Here p = 5 and q = 3.

Given the value of q, how many possible values of p are there?

Solution

并不知道左边的数能不能是负数，所以…
设右边第一个数是 x ，左边第一个就是 x−p
p(x−p)+p(p−1)2=qx+q(q−1)2
转化为下面的式子：
2x=p−q+1+2q2p−q

于是我们要考虑 p−q 的取值
因为左边是2的倍数，所以要稍微考虑一下奇偶性的影响：

1. 如果 q 是奇数， p 是偶数的话： p−q 是奇数， 2q2p−q 是偶数： p−q 取值是 q2 的奇约数
2. 如果 q 是奇数， p 是奇数的话： p−q 是偶数， 2q2p−q 是奇数： p−q 取值是 q2 的奇约数*( q2 里面所有2的个数+1) = q2 的奇约数
3. 如果 q 是偶数， p 是偶数的话： p−q 是偶数， 2q2p−q 是奇数： p−q 取值是 q2 的奇约数*( q2 里面所有2的个数+1)
4. 如果 q 是偶数， p 是奇数的话： p−q 是奇数， 2q2p−q 是偶数： p−q 取值是 q2 的奇约数

于是总结结果：
1. if 2|q ， q2 的约数个数*2
2. else, q2 的所有约数个数