[图论][最短路问题] Dijkstra&&Floyd

学图论，一定会接触到最短路问题。

有两个异常经典的算法:Dijkstra与Floyd，以下是简介——

Dijkstra算法是由荷兰计算机科学家Dijkstra于1959 年提出的，因此又叫狄克斯特拉算法。是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有向图中最短路径问题。

其基本原理是：每次新扩展一个距离最短的点，更新与其相邻的点的距离。当所有边权都为正时，由于不会存在一个距离更短的没扩展过的点，所以这个点的距离永远不会再被改变，因而保证了算法的正确性。不过根据这个原理，用Dijkstra求最短路的图不能有负权边，因为扩展到负权边的时候会产生更短的距离，有可能就破坏了已经更新的点距离不会改变的性质。

Dijkstra算法流程

设s为源，w[u,v]为点u和v之间的边的长度，结果保存在dist[]
初始化：源的距离dist[s]设为0，其他的点距离设为无穷大，同时把所有的点的状态设为没有扩展过。 
循环n-1次： 
在没有扩展过的点中取一距离最小的点u，并将其状态设为已扩展。 
对于每个与u相邻的点v，执行Relax(u,v)，也就是说，如果dist[u]+w[u,v] 结束。此时对于任意的u，dist[u]就是s到u的距离。 

代码实现

for(int i=2; i<=n; i++)
 　　 {
       　　int mindist = MAXINT;
       　　int u = 0; 　　                            // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值
      　　 for(int j=1; j<=n; ++j)
      　　    if((!S[j]) && dist[j]

Floyd算法由Robert W. Floyd（罗伯特·弗洛伊德）于1962年发表在“Communications of the ACM”上。同年Stephen Warshall（史蒂芬·沃舍尔）也独立发表了这个算法。/*Robert W．Floyd这个牛人是朵奇葩，他原本在芝加哥大学读的文学，但是因为当时美国经济不太景气，找工作比较困难，无奈之下到西屋电气公司当了一名计算机操作员，在IBM650机房值夜班，并由此开始了他的计算机生涯。*/ Floyd算法又称为插点法，是一种利用动态规划的思想寻找给定的加权图中多源点之间最短路径的算法。可以用在拥有负权值的有向图中求解最短路径（不过不能包含负权回路）。

其基本原理是采用动态规划思想，表示和之间可以通过编号为的节点的最短路径。
初值为原图的邻接矩阵。

则可以从转移来，表示到不经过这个节点。
也可以从转移过来，表示经过这个点。
意思即

然后你就会发现最外层一维空间可以省略，因为只与有关。

代码实现

for(int k = 1; k <= n; k++)
  for(int i = 1; i <= n; i++)
    for(int j = 1; j <= n; j++)
      f[i][j] = min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j]);