Alex_McAvoy
Alex_McAvoy

Number Challenge（CF-235E）

Problem Description

Let's denote d(n) as the number of divisors of a positive integer n. You are given three integers a, b and c. Your task is to calculate the following sum:

Find the sum modulo 1073741824 (230).

Input

The first line contains three space-separated integers a, b and c (1 ≤ a, b, c ≤ 2000).

Output

Print a single integer — the required sum modulo 1073741824 (230).

Examples

Input

2 2 2

Output

20

Input

4 4 4

Output

328

Input

10 10 10

Output

11536

Note

For the first example.

  • d(1·1·1) = d(1) = 1;
  • d(1·1·2) = d(2) = 2;
  • d(1·2·1) = d(2) = 2;
  • d(1·2·2) = d(4) = 3;
  • d(2·1·1) = d(2) = 2;
  • d(2·1·2) = d(4) = 3;
  • d(2·2·1) = d(4) = 3;
  • d(2·2·2) = d(8) = 4.

So the result is 1 + 2 + 2 + 3 + 2 + 3 + 3 + 4 = 20.

题意：定义 d(n) 为 n 的除数，现在给出 a、b、c，求 

思路：莫比乌斯反演

约数个数函数有一个结论：d(n*m)=\sum_{i|n}\sum_{j|m}\left \lfloor gcd(i,j)=1 \right \rfloor

那么推广到三个数，有：d(nmt)=\sum_{i|n}\sum_{j|m}\sum_{k|t}[gcd(i,j)=1][gcd(j,k)=1][gcd(i,k)=1]

那么，将 d(nmt) 代入  有：d(abc)=\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b\sum_{k=1}^c\sum_{x|a}\sum_{y|b}\sum_{z|c}[gcd(x,y)=gcd(y,z)=gcd(x,z)=1]

化简得：d(abc)=\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b\sum_{k=1}^c \left \lfloor \frac{a}{i} \right \rfloor \left \lfloor \frac{b}{j} \right \rfloor \left \lfloor \frac{c}{k} \right \rfloor[gcd(i,j)=gcd(i,k)=gcd(j,k)=1]

利用反演公式：[n=1]=\sum_{d|n}u(d)

有：d(abc)=\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b\sum_{k=1}^c \left \lfloor \frac{a}{i} \right \rfloor \left \lfloor \frac{b}{j} \right \rfloor \left \lfloor \frac{c}{k} \right \rfloor \sum_{d|(i,j)}u(d)[gcd(j,k)=gcd(i,k)=1]

化简得：d(abc)=\sum_{i=1}^c \left \lfloor \frac{c}{k} \right \rfloor \sum_{d=1}^n u(d) \sum_{i=1}^a \left \lfloor d[i]\frac{a}{i}[gcd(i,k)=1] \right \rfloor\sum_{j=1}^b d[i] \left \lfloor \frac{b}{j} \right \rfloor [ gcd(j,k)=1]

令 i=d[i]，j=d[j]，有：d(abc)=\sum_{i=1}^c \left \lfloor \frac{c}{k} \right \rfloor \sum_{d=1}^n u(d) \sum_{i=1}^{\frac{a}{d}} \left \lfloor \frac{a}{d[i]}[gcd(i,k)=1] \right \rfloor\sum_{j=1}^{\frac{b}{n}} \left \lfloor \frac{b}{d[j]} \right \rfloor [ gcd(j,k)=1]

设 f(n,m)=\sum_{i=1}^n \left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor[gcd(i,m)=1]

则有：d(abc)=\sum_{k=1}^c \left \lfloor \frac{c}{k} \right \rfloor\sum_{d=1}^au(d)f(\frac{a}{d},k)f(\frac{b}{d},k)

求 f(n) 的时间复杂度为 O(n)，那么整体复杂度为 O(n*n*logn)，需要优化常数，由于 a、b、c 的顺序无影响，因此可选两个小的进行枚举，将 GCD 预处理进行记忆化

Source Program

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define EPS 1e-9
#define PI acos(-1.0)
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
#define Pair pair
const int MOD = 1073741824;
const int N = 2000+5;
const int dx[] = {-1,1,0,0,-1,-1,1,1};
const int dy[] = {0,0,-1,1,-1,1,-1,1};
using namespace std;

int mu[N];
int prime[N];
bool bprime[N];
void getMu(int n){//线性筛求莫比乌斯函数

    mu[1]=1;//根据定义，μ(1)=1

    int cnt=0;
    memset(bprime,false,sizeof(bprime));
    for(int i=2;i<=n;i++){//求2~n的莫比乌斯函数
        if(!bprime[i]){
            prime[cnt++]=i;//存储质数
            mu[i]=-1;//i为质数时，μ(1)=-1
        }
        for(int j=0;jn)//剪枝
                break;
            bprime[k]=true;//不是质数
            if(i%prime[j])//i不是prime[j]的整数倍时，i*prime[j]就不会包含相同质因子
                mu[k]=-mu[i];//mu[k]=mu[i]*mu[prime[j]]，因为prime[j]是质数，mu值为-1
            else{
                mu[k]=0;
                break;//留到后面再筛
            }
        }
    }
}
int a,b,c;
int table[N][N];
void minSort(){
    if(a>b)
        swap(a,b);
    if(b>c)
        swap(b,c);
    if(a>b)
        swap(a,b);
}
int GCD(int x,int y){
    return y?GCD(y,x%y):x;
}
int F(int n,int m){
    int res=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(table[i][m]==1)
            res+=n/i;
    return res;
}
int main(){
    getMu(2000);
    scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);

    minSort();//使得abc变为升序

    for(int i=1;i<=c;i++){//选最大c的打表
        for(int j=i;j<=c;j++){
            table[i][j]=GCD(i,j);
            table[j][i]=GCD(i,j);
        }
    }

    int res=0;
    for(int i=1;i<=a;i++)
        for(int j=1;j<=min(b,c);j++)
            if(table[i][j]==1)
                res+=mu[j]*(a/i)*F(b/j,i)*F(c/j,i);
    res=(res%MOD+MOD)%MOD;
    printf("%d\n",res);

    return 0;
}

 

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  • Eclipse打不开，提示“An error has occurred.See the log file ***/.log” bijian1013 eclipse
    打开eclipse工作目录的\.metadata\.log文件，发现如下错误： !ENTRY org.eclipse.osgi 4 0 2012-09-10 09:28:57.139 !MESSAGE Application error !STACK 1 java.lang.NoClassDefFoundError: org/eclipse/core/resources/IContai
  • spring aop实例annotation方法实现 bijian1013 javaspringAOPannotation
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  • [Velocity一]Velocity语法基础入门 bit1129 velocity
    用户和开发人员参考文档 http://velocity.apache.org/engine/releases/velocity-1.7/developer-guide.html   注释 1.行级注释## 2.多行注释#*  *#   变量定义 使用$开头的字符串是变量定义，例如$var1, $var2,   赋值 使用#set为变量赋值，例
  • 【Kafka十一】关于Kafka的副本管理 bit1129 kafka
    1. 关于request.required.acks   request.required.acks控制者Producer写请求的什么时候可以确认写成功，默认是0， 0表示即不进行确认即返回。 1表示Leader写成功即返回，此时还没有进行写数据同步到其它Follower Partition中 -1表示根据指定的最少Partition确认后才返回，这个在   Th
  • lua统计nginx内部变量数据 ronin47 lua nginx　 统计
    server { listen 80; server_name photo.domain.com; location /{set $str $uri; content_by_lua ' local url = ngx.var.uri local res = ngx.location.capture(
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    import java.util.ArrayList; import java.util.List; public class MaxLenInBinTree { /* a. 1 / \ 2 3 / \ / \ 4 5 6 7 max=4 pass "root"
  • Netty源码学习-ReadTimeoutHandler bylijinnan javanetty
    ReadTimeoutHandler的实现思路： 开启一个定时任务，如果在指定时间内没有接收到消息，则抛出ReadTimeoutException 这个异常的捕获，在开发中，交给跟在ReadTimeoutHandler后面的ChannelHandler，例如 private final ChannelHandler timeoutHandler = new ReadTim
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    <!DOCTYPE html> <html> <head> <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8" /> <script src="jquery1.8/jquery-1.8.0.
  • 浏览器兼容【转】 cuishikuan css浏览器IE
    浏览器兼容问题一：不同浏览器的标签默认的外补丁和内补丁不同 问题症状：随便写几个标签，不加样式控制的情况下，各自的margin 和padding差异较大。 碰到频率:100% 解决方案：CSS里    *{margin:0;padding:0;} 备注：这个是最常见的也是最易解决的一个浏览器兼容性问题，几乎所有的CSS文件开头都会用通配符*来设
  • Shell特殊变量：Shell $0, $#, $*, $@, $?, $$和命令行参数 daizj shell$#$?特殊变量
    前面已经讲到，变量名只能包含数字、字母和下划线，因为某些包含其他字符的变量有特殊含义，这样的变量被称为特殊变量。例如，$ 表示当前Shell进程的ID，即pid，看下面的代码： $echo $$ 运行结果 29949   特殊变量列表 变量 含义 $0 当前脚本的文件名 $n 传递给脚本或函数的参数。n 是一个数字，表示第几个参数。例如，第一个
  • 程序设计KISS 原则-------KEEP IT SIMPLE, STUPID! dcj3sjt126com unix
    翻到一本书，讲到编程一般原则是kiss：Keep It Simple, Stupid.对这个原则深有体会，其实不仅编程如此，而且系统架构也是如此。 KEEP IT SIMPLE, STUPID! 编写只做一件事情，并且要做好的程序；编写可以在一起工作的程序，编写处理文本流的程序，因为这是通用的接口。这就是UNIX哲学.所有的哲学真 正的浓缩为一个铁一样的定律，高明的工程师的神圣的“KISS 原
  • android Activity间List传值 dcj3sjt126com Activity
    第一个Activity： import java.util.ArrayList;import java.util.HashMap;import java.util.List;import java.util.Map;import android.app.Activity;import android.content.Intent;import android.os.Bundle;import a
  • tomcat 设置java虚拟机内存 eksliang tomcat 内存设置
    转载请出自出处：http://eksliang.iteye.com/blog/2117772 http://eksliang.iteye.com/ 常见的内存溢出有以下两种: java.lang.OutOfMemoryError: PermGen space java.lang.OutOfMemoryError: Java heap space   ------------
  • Android 数据库事务处理 gqdy365 android
    使用SQLiteDatabase的beginTransaction()方法可以开启一个事务，程序执行到endTransaction() 方法时会检查事务的标志是否为成功，如果程序执行到endTransaction()之前调用了setTransactionSuccessful() 方法设置事务的标志为成功则提交事务，如果没有调用setTransactionSuccessful() 方法则回滚事务。事
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    使用java 语言如何打开浏览器呢? 我们先研究下在cmd窗口中,如何打开网址 使用IE 打开 D:\software\bin>cmd /c start iexplore http://hw1287789687.iteye.com/blog/2153709 使用火狐打开 D:\software\bin>cmd /c start firefox http://hw1287789
  • ReplaceGoogleCDN：将 Google CDN 替换为国内的 Chrome 插件 justjavac chromeGooglegoogle apichrome插件
    Chrome Web Store 安装地址： https://chrome.google.com/webstore/detail/replace-google-cdn/kpampjmfiopfpkkepbllemkibefkiice 由于众所周知的原因，只需替换一个域名就可以继续使用Google提供的前端公共库了。 同样，通过script标记引用这些资源，让网站访问速度瞬间提速吧
  • 进程VS.线程 m635674608 线程
    资料来源： http://www.liaoxuefeng.com/wiki/001374738125095c955c1e6d8bb493182103fac9270762a000/001397567993007df355a3394da48f0bf14960f0c78753f000 1、Apache最早就是采用多进程模式 2、IIS服务器默认采用多线程模式 3、多进程优缺点 优点： 多进程模式最大
  • Linux下安装MemCached 字符串 memcached
    前提准备：1. MemCached目前最新版本为：1.4.22，可以从官网下载到。2. MemCached依赖libevent，因此在安装MemCached之前需要先安装libevent。2.1 运行下面命令，查看系统是否已安装libevent。[root@SecurityCheck ~]# rpm -qa|grep libevent libevent-headers-1.4.13-4.el6.n
  • java设计模式之--jdk动态代理（实现aop编程） Supanccy2013 javaDAO设计模式AOP
        与静态代理类对照的是动态代理类，动态代理类的字节码在程序运行时由Java反射机制动态生成，无需程序员手工编写它的源代码。动态代理类不仅简化了编程工作，而且提高了软件系统的可扩展性，因为Java 反射机制可以生成任意类型的动态代理类。java.lang.reflect 包中的Proxy类和InvocationHandler 接口提供了生成动态代理类的能力。 &
  • Spring 4.2新特性-对java8默认方法(default method)定义Bean的支持 wiselyman spring 4
    2.1 默认方法(default method) java8引入了一个default medthod; 用来扩展已有的接口,在对已有接口的使用不产生任何影响的情况下,添加扩展 使用default关键字 Spring 4.2支持加载在默认方法里声明的bean 2.2 将要被声明成bean的类 public class DemoService {
按字母分类： ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ其他