递归三部曲之深入理解斐波那契数列

之前看过全排列，但是总感觉有点别扭，因为那时候还不能驾驭递归中的回溯，最近做poj1011的Sticks的时候发现又要用到回溯的思想，但是有点看不明白，于是沉下心来好好的看看。发现还是有收获的。于是决定好好写写自己的想法和大家好好分享一下。

首先我们来了解一下什么是递归：

要想理解递归就得先理解递归；哈哈，这就是递归了。在c语言里面我们可以直接认为就是一个函数调用自己本身的做法，比如最简单的斐波拉契数列就可以这样写；

#include
int sum,s;
int f(int n){
if(n==1||n==2){
     sum= 1;
 }
  else{
    sum=f(n-1)+f(n-2);
  }
   return sum;
}
int main()
{
    s=0;
   printf("%d",f(5));
}

上面的例子其实就是一个简单的递归了，我考虑一下它是如何调用的；

我们注意到，我们第一次调用函数时其实就是语句：

printf("%d",f(5));

也就是第一次传递的形参是5，5传递进去后发现既不是2，也不是1于是将执行语句：                          （1）

  else
    sum=f(n-1)+f(n-2);

这个时候实际上是发生了两次调用，分别是f(n-1),f(n-2)，即f(4),f(3);                                                      （2）

接下来、会先调用f(4),f(3)必须得等f(4)中的所有语句执行完成的时候才能接着执行：

  else
    sum=f(n-1)+f(n-2);

接下来首先调用f(4),于是得到f(3),f(2)，在这一步，肯定得先继续调用f(3) 于是得到f(2)和f(1)执行：     （3）

if(n==1||n==2){
     sum= 1;
 }
  //然后执行
   return sum;
}

得到f(2)=1,f(1)=1;

然后我们回到第（3）步继续执行f(2),同样会执行:

if(n==1||n==2){
     sum= 1;
 }
  //然后执行
   return sum;
}

然后我们会得到f(2)=1;

接着调用（2）部分的f(3)，分别得到f(2)=1;f(2)=1;

至此为止所有的调用都结束了，但是我们还没有得到答案是吧？其实接下来的话就是回溯了，我们之前的这些所有的状态其实都是存储在一个类似于栈的结构中，如果我们用n的值表示当前的状态的话，那么这个栈中的数值应该是：

                                                        5 4 3 2 1 2 3 2 1

正如图所示，当所有递归调用的时候就是开始回溯，栈中的元素开始出栈：

                                                          出栈的顺序想必大家都应该知道是：1 2 3 2 1 2 3 4 5

前面每一步的值都确定了，故后面的值也能够得出来了，如3（但事实栈里面储存的是f(3)=f(2)+f(1)这个语句的）出栈的时候f(3)=f(2)+f(1)而f(2)=1,f(1)=1是已经得出了的，故我们可以得到f(3)=2。。。。。