CSP-S 2019————Emiya 家今天的饭————DP+思维

题解：本题主要考查DP+思维。
简要题意：一个矩阵，要求每行只选一个节点，每列选的节点不能超过所有选的节点的一半，不能不选，给出每个节点的选择方案数，求总方案数。
1.DP+思维：
(1).维护每列已选的节点复杂度太大，应该不行，所以先不考虑每列不超过一半，求出总数，再减去不合法的方案数，应用逆向思维转换问题。
(2).设$dp[i][j][k]$​表示前$i$行选$j$个节点，当前枚举到的列选$k$个节点的方案数，但是这样复杂度很高，必须优化。限制条件$k>\lfloor j/2\rfloor$，可以得到$2k+n-j>n$，就可以剪去无用状态。
转移方程：

    dp[j][k]=(dp[j][k]+dp[j-1][k]*(sum[j]-a[j][i]))%mod;
    dp[j][k+1]=(dp[j][k+1]+dp[j-1][k])%mod;
    dp[j][k+2]=(dp[j][k+2]+dp[j-1][k]*a[j][i])%mod;

代码如下：

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
long long dp[201][3001],a[201][3001],sum[2001];
long long ans=1,n,m;
int mod=998244353;
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			cin>>a[i][j];
			sum[i]=(sum[i]+a[i][j])%mod;
		}
		ans=(ans*(sum[i]+1))%mod;
	} 
	ans=(ans+mod-1)%mod;
	for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        dp[0][0]=1;
        for(int j=1;j<=n;j++)
        for(int k=0;k<=2*(j-1);k++)
        {
            dp[j][k]=(dp[j][k]+dp[j-1][k]*(sum[j]-a[j][i]))%mod;
            dp[j][k+1]=(dp[j][k+1]+dp[j-1][k])%mod;
            dp[j][k+2]=(dp[j][k+2]+dp[j-1][k]*a[j][i])%mod;
        }
        for(int j=n+1;j<=2*n;j++)
        ans=(ans+mod-dp[n][j])%mod;
    }
    printf("%lld",ans);
	return 0;
}