百度Apollo规划决策模块学习记录-2 平滑曲线及二次规划问题模型

Lecture 3 + Lecture 4 + Lecture 5

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车辆运动模型及SL坐标系

运动模型为Ackermann模型，即自行车模型；SL坐标系即Frenet坐标系。模型和坐标系老生常谈了，这里就不记录啦。

SL坐标系下曲线平滑度的要求

• 平滑的体现：曲率在一定范围内连续变化
• SL系下曲线平滑程度很大程度上取决于道路中心线的平滑程度
• 不能只平滑曲率，比如U-turn转弯时，如果仅对曲率进行平滑而不考虑xy坐标的话，很可能曲率平滑了但车辆会碰撞到马路边缘。
  
  

用Smoothing Spline生成平滑曲线

确保曲线经过一系列控制点（或其周围一定范围内的box），在此约束下生成光滑曲线。

• 数学工具：Smoothing Spline

• 平滑性的度量：

  

  其中f(x)为坐标系下曲线的表达，第一个表达式表示最小化路径长度，第二个表达式为第一个的简化表达。用n阶导数^2作为目标函数，即使(n-1)阶导数的length达到min，即对(n-2)阶导数进行平滑。尝试画一个图理解一下：
  

• Smoothing Spline可以帮助满足起始点和终止点的边界条件，且多项式的形式容易计算

• 当曲线中间出现障碍物，要修正时，可以采用分段多项式，利用泰勒展开去逼近上一步的最优解

Spline 2D

二次规划与牛顿法

• 牛顿法：泰勒展开逼近

• 二次规划：当已知convex problem的二阶导数时，已更快的方式找到最优解。

• 二次规划的局限：需要问题是凸问题，否则就有收敛到局部极小的可能。

• Apollo EM Planner的思路：组合优化，先通过动态规划找粗略解，把粗略解提供给二次规划，构造凸空间求解，提高二次规划收敛到全局最优解的可能性。这是一种“启发式搜索”的思想。这和人开车的思路是很像的，需要先有一个“指导思想”。

• 当问题是凸问题时，二次规划的最优解要么落在边界，要么落在导数为零处。

二次规划 QP

• 无约束时，导数为零求解。

• 有等式约束时，引入拉格朗日乘子，构造哈密顿方程，转化为无约束二次规划求解。

  当满秩时，参数没有多余自由度，无需优化，只有一个解。但是当约束很多时需要注意约束之间是否violate导致问题无解。

• 有不等式约束时，用有效集法求解（active set）

• 这里简单地提到了一阶必要条件（KKT条件）和有效集法，很笼统，不做记录了。

• 当目标函数不是二次型，但是为凸函数时，是否还能用QP解决？思想是可以用二次型逼近，进行迭代逼近和求解

• 两本推荐书籍：Convex Optimization和Numerical Optimization