C语言经典例3-完全平方数

1 题目

一个整数，它加上100后是一个完全平方数，再加上168又是一个完全平方数，请问该数是多少？

2 分析

• 方法1（有缺陷，答案不全）：直接用暴力解法，由于不知道数的确切范围，所以假定该数在0到10000内进行求解，求解的方法是使用math.h的sqrt()函数求平方根，判断取平方根后是否为整数，若两次取平方根后都为整数，则这个数符合要求，见3.1实现1，这是最常见的方法，当然也是最容易出错的方法，出错的原因在于在题干没有指定数的范围的时候，自行指定了范围，求解前我们并不知道数的范围，所以有相当大的可能造成求解的遗漏，那么补充第二种方法
• 方法2：本题实际上是一个数学的问题，那么用数学的方法来求解是最稳妥的
  ① 设这个未知数为 $x$ ，那么列出符合题意的式子为：
  $x+100=A^2$，$x+268=B^2$ （ $A^2$ 和 $B^2$ 为构成的两个完全平方数）
  ② 得到 $A^2$ 和 $B^2$ 的关系，两式相减得： $B^2-A^2=(B+A)(B-A)=168$
  ③ 令 $(B+A)=i$，令 $(B-A)=j$，即 $i\ast j=168$，$i$ 和 $j$ 中至少一个为偶数
  ④ 则 $B=\frac{i+j}{2}$，则 $A=\frac{i-j}{2}$，$i$ 和 $j$ 奇偶性相同，即 $i$ 和 $j$ 都是偶数，且大于等于2
  ⑤ 令循环变量为i，从$1$循环至$\frac{168}{2}+1$，通过判断 $i$ 和 $j$ 就可以求出满足题意的数字，见3.3实现2

3 实现

3.1 实现1（有缺陷，答案不全）

#include

int main() {
    for (int i = 0; i <= 10000; i++) {
        if (sqrt(i+100)==(int)sqrt(i+100) && sqrt(i+268)==(int)sqrt(i+268)) {
            printf("%d\n", i);
        }
    }
    return 0;
}

3.2 运行结果1（有缺陷，答案不全）

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261
1581

3.2 实现2

#include

int main() {
    for (int i = 1; i < 168/2 + 1; i++) {
        if (168 % i == 0) { // i要能被168整除
            int j = 168 / i; // 求出j
            if (i > j && (i + j)%2 == 0 && (i - j)%2 == 0) {
                int B = (i + j) / 2;
                int A = (i - j) / 2;
                int x = A * A - 100;
                printf("%d\n", x);
            }
        }
    }
    return 0;
}

3.3 运行结果2

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1581