CCF.2013 12-3.最大的矩形（单调栈）

问题描述

试题编号：	201312-3
试题名称：	最大的矩形
时间限制：	1.0s
内存限制：	256.0MB
问题描述：	问题描述 　　在横轴上放了n个相邻的矩形，每个矩形的宽度是1，而第i（1 ≤ i ≤ n）个矩形的高度是hi。这n个矩形构成了一个直方图。例如，下图中六个矩形的高度就分别是3, 1, 6, 5, 2, 3。 　　请找出能放在给定直方图里面积最大的矩形，它的边要与坐标轴平行。对于上面给出的例子，最大矩形如下图所示的阴影部分，面积是10。 输入格式 　　第一行包含一个整数n，即矩形的数量(1 ≤ n ≤ 1000)。 　　第二行包含n 个整数h1, h2, … , hn，相邻的数之间由空格分隔。(1 ≤ hi ≤ 10000)。hi是第i个矩形的高度。 输出格式 　　输出一行，包含一个整数，即给定直方图内的最大矩形的面积。 样例输入 6 3 1 6 5 2 3 样例输出 10

解题思路：

我们先来思考一个问题：如果矩形的高度从左到右单调递增，那么答案是多少？

显而易见，我们可以尝试以每个矩形的高度作为最终矩形的高度，并把宽度延伸到右边界，得到一个矩形，在所有的面积中取最大值就是答案。

如果下一个矩形的高度比上一个小，那么该矩形想利用之前的矩形一起构成一块较大面积时，这块面积的高度就不可能超过该矩形自己的高度。换句话说，在该矩形之前的矩形比其高的部分就没有丝毫用处了。

既然没有用处，那为什么不把比该矩形高的矩形都删掉，用一个宽度累加、高度为该矩形自己的高度的新矩形代替呢？这样并不会对后续计算产生影响。于是我们维护的轮廓就变成了一个高度始终递增的矩形序列，问题变得可解了。

详细地说，我们建立一个栈，用来保存若干个矩形，这些矩形的高度是单调递增的。我们从左到右依次扫描每一个矩形：

如果当前矩形比栈顶矩形高，直接进栈。

否则不断取出栈顶，直至栈为空或者栈顶矩形的高度比当前矩形小。在出栈过程中，我们累计被弹出的矩形的宽度之和，并且每弹出一个矩形，就用它的高度乘上累积的宽度更新答案。整个出栈过程结束后，我们把高度作为当前矩形的高度、宽度为累计值的新矩形入栈。

整个扫描结束后，我们把栈中剩余的矩形依次弹出，按照与上面相同的办法更新答案。为了简化程序实现，也可以增加一个高度为 0 的矩形 a [n+1] ,以避免在扫描结束后栈中有剩余矩形。

参考代码：

#include
using namespace std;
int main()
{
    int n;
    while(cin>>n)
    {
        int a[1010],s[1010],w[1010],p=0;
        long long ans=0;
        memset(a,0,sizeof(a));
        memset(s,0,sizeof(s));
        memset(w,0,sizeof(w));
        for(int i=1; i<=n; i++) cin>>a[i];
        for(int i=1; i<=n+1; i++)
        {
            if(a[i]>s[p]) s[++p]=a[i],w[p]=1;
            else
            {
                int width=0;
                while(s[p]>a[i])
                {
                    width+=w[p];
                    ans=max(ans,(long long)width*s[p]);
                    p--;
                }
                s[++p]=a[i],w[p]=width+1;
            }
        }
        cout<

这就是著名的单调栈算法，时间复杂度为 O(n)。借助单调性处理问题的思想在于即使排除不可能的选项，保持策略集合的高度有效性和秩序性，从而为我们做出决策提供更多的条件和可能方法。