数据结构实验之查找二:平衡二叉树

平衡二叉树

对于二叉查找树,尽管查找、插入及删除操作的平均运行时间为O(logn),但是它们的最差运行时间都是O(n),原因在于对树的形状没有限制。

平衡二叉树又称为AVL树,它或者是一棵空树,或者是有下列性质的二叉树:它的左子树和右子树都是平衡二叉树,且左右子树的深度之差的绝对值不超过1。二叉树的的平衡因子BF为:该结点的左子树的深度减去它的右子树的深度,则平衡二叉树的所有结点的平衡因子为只可能是:-1、0和1

一棵好的平衡二叉树的特征:

(1)保证有n个结点的树的高度为O(logn)

(2)容易维护,也就是说,在做数据项的插入或删除操作时,为平衡树所做的一些辅助操作时间开销为O(1)

一、平衡二叉树的构造

在一棵二叉查找树中插入结点后,调整其为平衡二叉树。若向平衡二叉树中插入一个新结点后破坏了平衡二叉树的平衡性。首先要找出插入新结点后失去平衡的最小子树根结点的指针。然后再调整这个子树中有关结点之间的链接关系,使之成为新的平衡子树。当失去平衡的最小子树被调整为平衡子树后,原有其他所有不平衡子树无需调整,整个二叉排序树就又成为一棵平衡二叉树

1.调整方法

(1)插入点位置必须满足二叉查找树的性质,即任意一棵子树的左结点都小于根结点,右结点大于根结点

(2)找出插入结点后不平衡的最小二叉树进行调整,如果是整个树不平衡,才进行整个树的调整。

2.调整方式

(1)LL型

LL型:插入位置为左子树的左结点,进行向右旋转


由于在A的左孩子B的左子树上插入结点F,使A的平衡因子由1变为2,成为不平衡的最小二叉树根结点。此时A结点顺时针右旋转,旋转过程中遵循“旋转优先”的规则,A结点替换D结点成为B结点的右子树,D结点成为A结点的左孩子。
(2)RR型
RR型:插入位置 为右子树的右孩子,进行向左旋转

由于在A的右子树C的右子树插入了结点F,A的平衡因子由-1变为-2,成为不平衡的最小二叉树根结点。此时,A结点逆时针左旋转,遵循“旋转优先”的规则,A结点替换D结点成为C的左子树,D结点成为A的右子树。
(3)LR型
LR型:插入位置为 左子树的右孩子,要进行两次旋转,先左旋转,再右旋转;第一次最小不平衡子树的根结点先不动,调整插入结点所在的子树,第二次再调整最小不平衡子树。

 
 由于在A的左子树B的右子树上插入了结点F,A的平衡因子由1变为了2,成为不平衡的最小二叉树根结点。第一次旋转A结点不动,先将B的右子树的根结点D向左上旋转提升到B结点的位置,然后再把该D结点向右上旋转提升到A结点的位置。
(4)RL型
RL型:插入位置为右子树的左孩子,进行两次调整,先右旋转再左旋转;处理情况与LR类似。
以上内容转自:http://blog.csdn.net/zhuyingqingfen/article/details/6530434 感谢大神。
3.建平衡二叉树

创建平衡二叉树,我们采用依次插入节点的方式进行。而平衡二叉树上插入节点采用递归的方式进行。递归算法如下:

(1)      若该树为一空树,那么插入一个数据元素为e的新节点作为平衡二叉树的根节点,树的高度增加1。

(2)      若待插入的数据元素e和平衡二叉树(BBST)的根节点的关键字相等,那么就不需要进行插入操作。

(3)      若待插入的元素e比平衡二叉树(BBST)的根节点的关键字小,而且在BBST的左子树中也不存在和e有相同关键字的节点,则将e插入在BBST的左子树上,并且当插入之后的左子树深度增加1时,分别就下列情况处理之。

(a)    BBST的根节点的平衡因子为-1(右子树的深度大于左子树的深度):则将根节点的平衡因子更改为0,BBST的深度不变;

(b)    BBST的根节点的平衡因子为0(左右子树的深度相等):则将根节点的平衡因子修改为1,BBST的深度增加1;

(c)    BBST的根节点的平衡因子为1(左子树的深度大于右子树的深度):若BBST的左子树根节点的平衡因子为1,则需要进行单向右旋转平衡处理,并且在右旋处理后,将根节点和其右子树根节点的平衡因子更改为0,树的深度不变;

若BBST的左子树根节点的平衡因子为-1,则需进行先向左,后向右的双向旋转平衡处理,并且在旋转处理之后,修改根节点和其左,右子树根节点的平衡因子,树的深度不变;

(4)      若e的关键字大于BBST的根节点的关键字,而且在BBST的右子树中不存在和e有相同关键字的节点,则将e插入到BBST的右子树上,并且当插入之后的右子树深度加1时,分别就不同的情况处理之。

(a)      BBST的根节点的平衡因子是1(左子树的深度大于右子树的深度):则将根节点的平衡因子修改为0,BBST的深度不变;

(b)      BBST的根节点的平衡因子是0(左右子树的深度相等):则将根节点的平衡因子修改为-1,树的深度加1;

(c)      BBST的根节点的平衡因子为-1(右子树的深度大于左子树的深度):若BBST的右子树根节点的平衡因子为1,则需要进行两次选择,第一次先向右旋转,再向左旋转处理,并且在旋转处理之后,修改根节点和其左,右子树根节点的平衡因子,树的深度不变;

若BBST的右子树根节点的平衡因子为1,则需要进行一次向左的旋转处理,并且在左旋之后,更新根节点和其左,右子树根节点的平衡因子,树的深度不变。

建树内容转自:http://blog.csdn.net/guoqingshuang/article/details/50190119 感谢大神。

Problem Description
根据给定的输入序列建立一棵平衡二叉树,求出建立的平衡二叉树的树根。

Input
输入一组测试数据。数据的第1行给出一个正整数N(n <= 20),N表示输入序列的元素个数;第2行给出N个正整数,按数据给定顺序建立平衡二叉树。

Output
输出平衡二叉树的树根。

Example Input
5
88 70 61 96 120Example Output
70Hint
  


#include
#include
typedef struct BiTNode{
	int data;
	BiTNode *lchild,*rchild;
	int id;
}BiTNode,*BiTree;
int max(int a,int b){
	return a>b?a:b;
}
int depth(BiTree T){
	if(!T)
	return -1;
	return T->id;
}
BiTree LL(BiTree T){//右旋 
	BiTree q = T->lchild;
	T->lchild = q->rchild;
	q->rchild = T;
	q->id = max(depth(q->lchild),depth(q->rchild))+1;
	T->id = max(depth(T->lchild),depth(T->rchild))+1;
	return q;
}
BiTree RR(BiTree T){//左旋 
	BiTree q = T->rchild;
	T->rchild = q->lchild;
	q->lchild = T;
	q->id = max(depth(q->lchild),depth(q->rchild))+1;
	T->id = max(depth(T->lchild),depth(T->rchild))+1;
	return q;
}
BiTree LR(BiTree T){
	T->lchild = RR(T->lchild);//先左 
	return LL(T);//后右 
}
BiTree RL(BiTree T){
	T->rchild = LL(T->rchild);//先右 
	return RR(T);//后左 
}
void creat(BiTree &T,int key){
	if(T==NULL){
		T= new BiTNode;
		T->data = key;
		T->lchild = T->rchild = NULL;
		T->id = 0;
	}
	else{
		if(keydata){
			creat(T->lchild,key);
			if(depth(T->lchild)-depth(T->rchild)>1){
				if(key < T->lchild->data)
				T=LL(T);
				else
				T=LR(T);
			}
		}
		else if(key>T->data){
			creat(T->rchild,key);
			if(depth(T->rchild)-depth(T->lchild)>1){
				if(key>T->rchild->data)
				T=RR(T);
				else
				T=RL(T);
			}
		}
	}
	T->id=max(depth(T->lchild),depth(T->rchild))+1;
}
int main(){
	int n,i;
	int a[22];
	BiTree T;
	T = NULL;
	scanf("%d",&n);
	for(i=0;idata);
	return 0;
}



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