CodeForces - 11D A Simple Task

◇A Simple Task◇

+传送门+

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先说两句

每次都是这样：上去讲一道题，一边讲一遍问：没问题吧（众人回应：笑）。讲罢，老师曰：“你等下写篇题解吧”……
于是，我又来了。

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◇题意◇

给一个有 n n 个点， m m 条边的图，求图上环的个数。

(1 ≤ n ≤ 19,0 ≤ m) ( 1   ≤   n   ≤   19 , 0   ≤   m )
注意：大家对着样例自己看一下
提示：有两个“八”字形的环

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◇解析

状压 Dp D p

Dp D p 的理由：这个我没法解释，我主要是看出的状压 Dp D p ；
状压的理由: 1 ≤ n ≤ 19 1   ≤   n   ≤   19 就这样好吧。
开个玩笑，这道题很容易想到点集并且通过路径进行转移，所以就是状压 Dp D p 。

基本思路

状态定义

f[S][u] f [ S ] [ u ] :经过点集 S S 里的点的点到目标点 u u 的路径数。

Example

下面很重要

特别注意：默认一条路径的起点为在二进制数编号在中最右端的节点，即节点编号最小的，称其为st，例如上图为1。
再次注意：为了下文表示方便，定义求一个点集 S S 的 st s t 的方法叫做 St(S) S t ( S )

状态转移

我们统计的是环的个数，什么时候会出现一个环呢，当然是目标点 u u 已经是这个点集 S S 的起点 st s t 。
于是我们的得到答案的统计方法

ans+=f[S][u] a n s + = f [ S ] [ u ] (u=St[S]) ( u = S t [ S ] )

再考虑转移，显然对一个 f[S][u] f [ S ] [ u ] 的状态来说，它的来源有 f[S′][v] f [ S ′ ] [ v ] ( S′ S ′ 是 S S 除了 u u 之外的点集， v v 是 u u 的邻接点，也可看做此次转移的父亲节点)

Example

所以我们可以写出简单的方程了：

f[S][u]=∑f[S′][v] f [ S ] [ u ] = ∑ f [ S ′ ] [ v ] (eg[u][v]) ( e g [ u ] [ v ] )

这里选择用 eg[][] e g [ ] [ ] 表示邻接矩阵，储存位置关系。

但很容易想到如果寻找 S′ S ′ 非常困难，所以我们在扫描到 S′ S ′ 就向 S S 递推，使实验和代码更优。
所以，改变一下转移的方程：
设当前状态 f[S][v] f [ S ] [ v ]

S′=S|(1<<u) S ′ = S | ( 1 << u )
f[S′][u]+=f[S][v] f [ S ′ ] [ u ] + = f [ S ] [ v ] (eg[u][v]) ( e g [ u ] [ v ] )

差不多了。

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◇代码◇

下面的代码，我是存的 1−n 1 − n 的编号，与二进制不太相符，大家可能看起来有点不舒服。
通过班上讲题同学的反应….我会在一些可能需要些提示的地方注解。

/*Wiz*/
#include
#include
using namespace std;
const int MAXN=int(2e1);
typedef long long LL;

LL n,m;
LL f[1<1;
    while(s) {
        if(s%2)
            return ret;
        s>>=1;ret++;
    }
}//即上文中的St()

int main()
{
    LL u,v,ans=0;
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(LL i=1;i<=m;i++) {
        scanf("%lld%lld",&u,&v);
        eg[u][v]=1,eg[v][u]=1;
    }
    LL S=(1<1;
    for(LL i=1;i<=n;i++)
        f[(1<<(i-1))][i]=1;//初始状态，每个点到自己
    for(LL s=1;s<=S;s++)
        for(LL u=1;u<=n;u++) {
            if(f[s][u]==0)
                continue;//这个状态是没作用的
            LL fir=Left(s);
            for(LL v=fir;v<=n;v++)
                if(u!=v&&eg[u][v]) {
                    if((s&(1<<(v-1)))&&v==fir)
                        ans+=f[s][u];//看求解答案部分
                    else if(!(s&(1<<(v-1)))) {
                        LL ss=s|(1<<(v-1));
                        f[ss][v]+=f[s][u];//看转移部分
                    }
                }
        }
    ans-=m;//这是减去互相连边的情况，举个例子:1->2->1(为什么不/2?看37行)
    ans/=2;//每种都会算两次：“1->2->4->3->1=1->3->4->2->1”
    printf("%lld",ans);
}

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再说两句

为了继承以往博客中的诗性：

考试千万别放弃
不能 Dp D p 再暴力
to t o be b e or o r not n o t to t o be b e , this t h i s is i s a a question q u e s t i o n .
还想说哦：这个题，挺经验的，我好像也该再学学语文。

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Thanks T h a n k s for f o r reading r e a d i n g !