数论基础知识补充

一、阶

数论术语

其在数论中的定义为：

设a，p是 整数，有：a ⁿ Ξ 1(mod p)

可以使上式成立的最小 正整数n叫做a模p的阶。

二、互质/互素

互质，公约数只有1的两个整数，叫做互质整数·公约数只有1的两个自然数，叫做互质自然数，后者是前者的特殊 情形。

三、欧拉函数

在 数论，对 正整数n， 欧拉函数是小于等于n的数中与n 互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名(Euler'so totient function)，它又称为Euler's totient function、 φ函数、欧拉 商数等。 例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。 从欧拉函数引伸出来在环论方面的事实和 拉格朗日定理构成了 欧拉定理的证明。

四、本原元/原根

先是阶的概念：模19下7的阶为3（7^1=7 mod 19,7^2=11 mod 19,

7^3=1 mod 19,7^4=7 mod 19....）

本原元的概念：若模n下a的阶d=φ(n)，a就是n的本原元（又称为原根）。此时a是Z*_n的生成元。

本原元并不唯一（19本原元还有2，3，10，13，14，15）
备注：19的欧拉函数是18，

不是所有的整数都有本原元，应是这样的形式：2,4,p^a,2p^a(p为奇素数)

在 数学中， 本原元定理精确刻画了什么时候对于一个域扩张 E/F， E可以表示为F(α)的形式，即 E可以由单个元素生成。

设m是正整数，a是整数，若a模m的阶等于φ(m)，则称a为模m的一个原根。（其中φ(m)表示m的 欧拉函数）

假设一个数g对于P来说是原根，那么g^i mod P的结果两两不同,且有 1

简单来说，g^i mod p ≠ g^j mod p （p为素数）

其中i≠j且i, j介於1至(p-1)之间

则g为p的原根。

求原根目前的做法只能是从2开始枚举，然后暴力判断g^(P-1) = 1 (mod P)是否当且当指数为P-1的时候成立

而由于原根一般都不大，所以可以暴力得到。

拓展阅读： 本原元（维基百科，自由的百科全书）

五、伽罗华域/有限域

有限域是仅含有限多个元素的域。它首先由E.伽罗瓦所发现，因而又称为伽罗瓦域。它和有理数域、实数域比较，有着许多不同的性质。

例题补充：F2上5次本原多项式是哪六个?（没看懂）

六、群（数学概念）

在数学中，群表示一个拥有满足封闭性、结合律、有单位元、有逆元的二元运算的代数结构。

1、乘法群

若 集合

且在

上的 二元运算

构成的代数结构

满足：

1. 封闭性：

的任意两个元素的运算结果都是该集合的一个元素。即对于

里的任意元素

，

必定是

的元素。

2. 结合律：对

中任意元素都有

；

3. 单位元：集合

内存在一个单位元

，它和集合中任何一个元素的积都等于该元素本身，即对于

中每个元素

都有

；

4. 逆元：对任意

，存在

，使得

，

称为

的逆元。

则

为乘法群。

2、加法群

若 集合

且在

上的 二元运算

构成的代数结构

满足：

1. 封闭性：乘法改为加法

2. 结合律：乘法改为加法

3. 单位元：改为零元，用符号 0表示

4. 逆元：改为负元，并把它记为

其它同上

则

为加法群。

3、循环群

循环群：设为群，若在G存在一个元素a，使得G的任意元素都由a的幂组成，则称该群为循环群，元素a称为循环群G的生成元。

补充：生成元

若一个群G的每一个元都是G的某一个固定元a的乘方，我们就把G叫做循环群；我们也说，G是由元a生成的，并且用符号

G=（a）来表示。a叫做G的一个 生成元。

七、阶

群论术语

在 群论中阶有两个可能的含义：

1) 一个 群G的阶是指它的势，即是指其元素个数

2) 类似于数论里的定义，设a是群G里的元素，e是 单位元，我们把使得a ⁿ=e成立的最小正整数n叫做a的阶，并记作

或

。如果这样的n不存在，则把a的阶当作无限大，即

。

当G是有限群时，由群的性质，可证明G的任意元素的阶都是有限；

当G是无限群时，元素的阶可能有限也可能无限。考虑整数的加法群

，非单位元的元素之阶均为无限。

有限域GF(q)中的本原元素,是指阶为q-1的元素。（q阶有限域中阶为q-1的元素称为本原域元素，简称本原元）

扩展阅读: 域GF(2^m)中一定有本原域元素,可是本原域元素的个数可不可以不止一个

八、初探RS编码和伽罗华域之间的关系

原文见链接 RS编码和纠错算法

九、本原多项式

本原多项式 的特性是 得到的余式等于0。

若一个 n 次多项式 f ( x ) 满足下列条件:

f (x ) 为既约多项式;

f (x ) 可整除(x^m - 1) ,m = 2ⁿ- 1; f (x ) 除不尽(x ^q - 1) , q> m。

则称 f ( x ) 为本原多项式。
本原多项式的另外一种定义：系数取自GF(p)上，以GF(p^m)上的本原域元素为根的最小多项式。

本原多项式在线计算本原多项式计算

原文见链接有限域GF(2^8)的四则运算及拉格朗日插值

原文见链接DataMatrix编码2——伽罗华域运算

十、既约多项式

既约多项式又称“不可约多项式”。次数大于零的有理数系数多项式，不能分解为两个次数较低但都大于零的有理数系数多项式的乘积时，称为有理数范围内的“既约多项式”。在实数或复数范围内，也有相应的定义。在只有一元的情况下，实数范围内的既约多项式是一次或二次多项式（其中b^2-4ac<0），复数范围内的既约多项式必是一次多项式。

设f(x)是次数大于零的多项式,若除常数和常数与本身的乘积以外,再不能被域Fp上的其他多项式整除,则称f(x)为域Fp上的既约多项式。