《Logistic Regression》
对于一个分类问题，通常可以分为线性可分与线性不可分两种。如果一个分类问题可以使用线性判别函数正确分类，则称该问题为线性可分；否则为线性不可分问题。
Logistic Regression 模型是广义线性模型的一种，属于线性的分类模型。对于图1.1所示的线性可分的问题，需要找到一条直线，能够将两个不同的类区分开，这条红色的直线被称为超平面。
对于上述的超平面，可以使用如下的线性函数表示：
其中W为权重，b为偏置。若在多为的情况下，权重W和偏置b均为向量。在Logistic Regression算法中，通过对训练样本的学习，最终得到该超平面，将数据分成正负两个类别。此时，可以使用阈值函数，将样本映射到不同的类别中，常见的阈值函数有Sigmoid函数，其形式如下所示：
Sigmoid函数的图像如下图所示：
从Sigmoid函数的图像上可以看出，其函数的值域为（0，1），在0附近的变化比较明显。其导函数${f}'(x)$为：
现在，让我们利用Python实现Sigmoid函数，为了能够使用numpy中的函数，我们首先需要导入 numpy :
import numpy as np
def sig(x):
"""Sigmoid函数
Input: x(mat) : feature * w
Output: sigmoid(x)(mat):Sigmoid值
"""
return 1.0 / (1 + np.exp(-x))
上述程序中，Sigmoid函数的输出为Simoid值。对于输入向量X，其属于正例的概率为：
其中，$\sigma$表示的是Sigmoid函数。那么，对于输入向量 X ，其属于负例的概率为：
对于Logistic Regression 算法来说，需要求解的分隔超平面中的参数，即为权重矩阵 W 和偏置向量 b ,那么，这些参数该如何求解呢？为了求解模型的两个参数，首先必须定义损失函数。
对于上述的Logistic Regression算法，其属于类别y的概率为：
要求上述问题中的参数W和b，可以使用极大似然法对其进行估计。假设训练数据集有m个训练样本$\left \{ (X^{(1)},y^{(1)}),(X^{(2)},y^{(2)}),\cdots ,(X^{(m)},y^{(m)}) \right \}$,则其似然函数为：
其中，假设函数$h_{W,b}(X^{(i)})$为：
对于似然函数的极大值的求解，通常使用Log似然函数，在Logistic Regression算法中，通常是将负的Log似然函数作为其损失函数，即 the negative log-likelihood(NLL)作为其损失函数，此时，需要计算的是NLL的极小值。损失函数$l_{W,b}$为：
此时，我们需要求解的问题为：
为了求得损失函数$l_{W,b}$的最小值，可以使用基于梯度的方法进行求解。
在机器学习算法中，对于很多监督学习模型，需要对原始的模型构建损失函数l，接下来表示通过优化算法对损失函数l进行优化，以便寻找到最优的参数W。在求解机器学习参数W的优化算法时，使用较多的是基于梯度下降的优化算法（Gradient Descent,GD）。
梯度下降法有很多优点，其中，在梯度下降法的求解过程中，只需求解损失函数的一阶导数，计算的成本比较小，这使得梯度下降法能在很多大规模数据集上得到应用。梯度下降法的含义是通过当前点的梯度方向寻找到新的迭代点，并从当前点移动到新的迭代点继续寻找新的迭代点，直到找到最优解。
梯度下降法是一种迭代型的优化算法，根据初始点在每一次迭代的过程中选择下降方向，进而改变需要修改的参数，对于优化问题min f(w),梯度下降法的详细过程如下所示：
- 随机选择一个初始点$w_{0}$
- 重复以下过程：
° 决定梯度下降的方向： $d_{i}=-\frac{\partial }{\partial w}f(w)|_{w_{i}}$
° 选择步长: $\alpha$
° 更新: $w_{i+1}=w_{i}+\alpha d_{i}$ - 直到满足终止条件
在初始时，在点$w_{0}$处，选择下降的方向$d_{0}$，选择步长 $\alpha$，更新w的值，此时到达$w_{1}$处，判断是否满足终止的条件，发现并未到达最优解$w^{*}$，重复上述的过程，直至到达$w^{*}$。
简单来说，凸优化问题是指只存在一个最优解的优化问题，即任何一个局部最优解即是全局最优解，如图1.5所示。
非凸优化是指解空间中存在多个局部最优解，而全局最优解是其中的某一个局部最优解，如图1.6所示。
最小二乘（Least Squares）、岭回归（Ridge Regression）和逻辑回归（Logistic Regression）的损失函数都是凸优化问题。
对于上述的Logistic Regression算法的损失函数可以通过梯度下降法对其进行求解，其梯度为：
其中，$x_{j}^{(i)}$表示的是样本$X^{(i)}$的第j个分量。取$w_{0}=b$,且将偏置项的变量$x_{0}$设置为1，则可以将上述的梯度合并为：
根据梯度下降法，得到如下的更新公式：
利用上述的Logistic Regression中权重的更新公式，我们可以实现Logistic Regression模型的训练，利用梯度下降法训练模型的具体过程，如下程序所示：
# 程序清单 1-2 Logistic Regression 模型的训练
def lr_train_bgd(feature, label, maxCycle, alpha):
"""利用梯度下降法训练LR模型
Input: feature(mat)特征
label(mat) 标签
maxCycle(int)最大迭代次数
alpha(float)学习率
Output: w(mat)权重
"""
n = np.shape(feature)[1] #特征个数
w = np.mat(np.ones((n, 1))) #初始化权重
i = 0
while i <= maxCycle: # 在最大迭代次数的范围内
i += 1 #当前的迭代次数
h = sig(feature * w) # 计算Sigmoid值
err = label - h
if i % 100 == 0:
print("\t----------iter=" + str(i) + " , train error rate= " + str(error_rate(h, label)))
w = w + alpha * feature.T * err # 权重修正
return w
在上述程序清单中，函数lr_train_bgd使用了梯度下降法对Logistic Regression算法中的损失函数进行优化，其中，lr_train_bgd函数的输入为训练样本的特征、训练样本的标签、最大的迭代次数和学习率，在每一次迭代的过程中，需要计算当前的模型的误差，误差函数为 error_rate，error_rate函数的具体实现形式如程序清单1-3所示。在迭代的过程中，不断通过梯度下降的方法对Logistic Regression算法中的权重进行更新。
#程序清单 1-3 error_rate 函数的实现
def error_rate(h, label):
'''计算当前的损失函数值
Input: h(mat):预测值
label(mat): 实际值
Output: err/m(float): 错误率
'''
m = np.shape(h)[0]
sum_err = 0.0
for i in range(m):
if h[i, 0] > 0 and (1 - h[i, 0]) > 0:
sum_err -= (label[i,0] * np.log(h[i,0]) + (1 - label[i,0])*np.log(1 - h[i,0] ))
else:
sum_err -= 0
return sum_err / m
为了求解优化问题f(w)的最小值，我们希望每次迭代的结果能够接近最优值 $w^{*}$,对于一维的情况，如图 1.7 所示：
若当前点的梯度为负，则最小值在当前点的右侧，若当前点的梯度为正，则最小值在当前点的左侧，负的梯度即为下降的方向。对于上述的一维的情况，有下述的更新规则：
其中， $\alpha _{i}$为步长。对于二维的情况，此时更新的规则如下：
对于步长 $\alpha$ 的选择，若选择太小，会导致收敛的速度比较慢；若选择太大，则会出现震荡的现象，即跳过最优解，在最优解附近徘徊，上述两种情况如图1.8 所示：
因此，选择合适的步长对于梯度下降法的收敛效果显得尤为重要，如图 1.9 所示：
有了以上的理论准备，接下来，我们利用已经完成的函数，构建Logistic Regression 分类器。我们利用线性可分的数据作为训练样本训练Logistic Regression 模型，在构建模型的过程中，主要分为两个步骤：
（1）利用训练样本训练模型；
（2）利用训练好的模型对新样本进行预测。
首先，我们利用训练样本训练模型，为了使得Python能够支持中文的注释和利用numpy工具，我们需要在训练文件的开始加入：
# coding:UTF-8
import numpy as np
在训练模型中，其主函数如程序清单1-4 所示：
# 程序清单 1-4 训练模型的主函数
if __name__=="__main__":
# 1. 导入训练数据
print("-------- 1. load data --------")
feature, label = load_data1("data.txt")
# 2. 训练 LR 模型
print("-------- 2. training --------")
w = lr_train_bgd(feature, label, 1000, 0.01)
# 3. 保存最终的模型
print("-------- 3. save model --------")
save_model("weights", w)
# 程序清单 1-5 导入训练数据的 load_data 函数
import numpy as np
def load_data1(file_name):
'''
Input: file_name(string) 训练数据的位置
Output: feature_data(mat)特征
label_data(mat)标签
'''
f = open(file_name) #打开文件
feature_data = []
label_data = []
for line in f.readlines():
feature_tmp = []
label_tmp = []
lines = line.strip().split("\t")
feature_tmp.append(1) # 偏置项
for i in range(len(lines) - 1):
feature_tmp.append(float(lines[i]))
label_tmp.append(float(lines[-1]))
feature_data.append(feature_tmp)
label_data.append(label_tmp)
f.close() # 关闭文件
return np.mat(feature_data), np.mat(label_data)
在 load_data 函数中，其输入的为训练数据所在的位置，其输出的为训练数据的特征和训练数据的标签。
# 程序清单 1-6 保存最终的模型的 save_model 函数
def save_model(file_name, w):
'''
保存最终的模型
Input: file_name(string):模型保存的文件名
w(mat): LR 模型的权重
'''
m = np.shape(w)[0]
f_w = open(file_name, "w")
w_array = []
for i in range(m):
w_array.append(str(w[i, 0]))
f_w.write("\t".join(w_array))
f_w.close()
在程序清单1-6中，函数save_model将训练好的LR模型以文件的形式保存，其中 save_model函数的输入为保存的文件名file_name和所需保存的模型w。
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import pandas as pd
feature, label = load_data("data.txt")
w = np.mat(np.ones((3, 1)))
#h = sig(feature * w)
#print(feature)
#n = np.shape(feature)[1]
#print(n)
h = sig(feature * w)
print(np.shape(h))
对于分类算法而言，训练好的模型需要能够对新的数据集进行划分。利用上述步骤，我们训练好LR模型，并将其保存在“weights”文件中，此时，我们需要利用训练好的LR模型对新数据进行预测，同样，为了能够使用numpy中的函数和对中文注释的支持，在文件“lr_test.py”开始，我们加入：
# coding: UTF-8
import numpy as np
主函数如下程序清单1-7所示。
# 程序清单1-7 测试的主函数
if __name__=="__main__":
# 1. 导入 LR 模型
print("---------- 1. load model ----------")
w = load_weight("weights")
n = np.shape(w)[1]
# 2. 导入测试数据
print("---------- 2. load test data ----------")
testData = load_data("test_data", n)
# 3. 对测试数据进行预测
print("---------- 3. get prediction ----------")
h = predict(testData, w)
# 4. 保存最终预测结果
print("---------- 4. save prediction ----------")
save_result("result", h)
# 程序清单 1-8 导入模型的 load_weight 函数
def load_weight(w):
'''导入LR模型
Input: w(string):权重所在的文件位置
Output: np.mat(w)(mat)权重的矩阵
'''
f = open(w)
w = []
for line in f.readlines():
lines = line.strip().split("\t")
w_tmp = []
for x in lines:
w_tmp.append(float(x))
w.append(w_tmp)
f.close()
return np.mat(w)
在程序清单1-8中，首先需要导入numpy模块和lr_train中的sig函数。在load_weight函数中，其输入是权重所在的位置，在导入函数中，将其数值导入到权重矩阵中。
#程序清单 1-9 导入测试集的 load_data 函数
def load_data(file_name, n):
'''导入测试数据
Input: file_name(string):测试集的位置
n (int):特征的个数
Output: np.mat(feature_data) (mat):测试集的特征
'''
f = open(file_name)
feature_data = []
for line in f.readlines():
feature_tmp = []
lines = line.strip().split("\t")
# print(lines[2])
if len(lines) != n-1: #特征的个数用于判断测试集是否符合要求，若不符合要求，则丢弃。
continue
feature_tmp.append(1)
for x in lines:
# print(x)
feature_tmp.append(float(x))
feature_data.append(feature_tmp)
f.close()
return np.mat(feature_data)
在导入测试集的 load_data 函数中，其输入为测试集的位置和特征的个数，其中特征的个数用于判断测试集是否符合要求，若不符合要求，则丢弃。
# 程序清单 1-10 对新数据集进行预测的 predict 函数
def predict(data, w):
'''对测试数据进行预测
Input: data(mat): 测试数据的特征
w(mat): 模型的参数
Output: h(mat): 最终的预测结果
'''
h = sig(data * w.T) # 取得 Sigmoid 值
m = np.shape(h)[0]
for i in range(m):
if h[i, 0] < 0.5:
h[i, 0] = 0.0
else:
h[i, 0] = 1.0
return h
在 predict 函数中，其输入为测试数据的特征和模型的权重，输出为最终的预测结果。通过特征与权重的乘积，再对其求 Sigmoid 函数值得到最终的预测结果。在此，使用到了文件“lr_train.py”中的 sig 函数，因此，在文件“lr_test.py”中，需要导入 sig 函数：
在计算最终的输出时，为了将Sigmoid函数输出的概率值转换成{0,1}，通常可以取0.5作为边界。
# 程序清单 1-11 保存最终预测结果的 save_result 函数
def save_result(file_name, result):
'''保存最终的预测结果
Input: file_name(string):预测结果保存的文件名
result(mat): 预测的结果
'''
m = np.shape(result)[0]
#输出预测结果到文件
tmp = []
for i in range(m):
tmp.append(str(result[i, 0]))
f_result = open(file_name, "w")
f_result.write("\t".join(tmp))
f_result.close()
在程序清单 1-11 中，函数 save_result 实现将预测结果存到指定的文件中，函数 save_result 的输入为预测结果保存的文件名 file_name 和预测的结果 result，最终将 result 中的数据写入到文件 file_name 中。
[1] 李航.《统计学习方法》[M].北京.清华大学出版社.2012.
[2] 周志华.《机器学习》[M].北京.清华大学出版社.2016.
[3] Peter Harrington. 机器学习实战[M].王斌，译.北京.人民邮电出版社.2013.
[4] Chapelle O, Manavoglu E, Rosales R. Simple and Scalable Response Prediction for Display Advertising[J]. Acm Transactions on Intelligent Systems & Technology,2014,5(4):1-34.