CF - Magic Gems （DP+矩阵快速幂优化）

CF - Magic Gems

题目链接： Educational Codeforces Round 60 (Rated for Div. 2) Magic Gems

题意

有两种宝石，第一种是普通宝石，第二种是魔法宝石，每个魔法宝石可以分成m个连续的普通宝石，这两种宝石所占格子都是一个，给你一个N个连续的格子，求能够填满这个格子的最初排列情况

数据范围： $2\le M\le 100$ , $1\le N\le 10^{18}$

思路

设dp[n] 代表着能够组成 n 的情况，那么根据当前最后一个宝石的两种情况，我们可以 列出式子 $d{p}_n=d{p}_{n-m}+d{p}_{n-1}$

当前的n有点大，我们可以用矩阵快速幂进行优化，

代码

#include 
#define LL long long
using namespace std;

const int M = 1e9+7;

struct matrix {
    vector<vector<LL> > v;
    matrix(int n, int m) : v(n, vector<LL>(m)) {}
};

matrix operator * (matrix a, matrix b) {
    int n = a.v.size();
    int m = a.v[0].size();
    assert(b.v.size() == m);
    int k = b.v[0].size();

    matrix ans (n, k);
    for (int i=0; i<n; i++)
        for (int j=0; j<k; j++)
            for (int l=0; l<m; l++)
                ans.v[i][j] = (ans.v[i][j] + a.v[i][l]*b.v[l][j])%M;

    return ans;
}

matrix power(matrix a, LL p) {
    if (p==1||p==0)   return a;
    matrix ans = power(a, p/2);
    ans = ans * ans;
    if (p%2)    ans = (ans * a);
    return ans;
}

void print(matrix a) {

    for(int i =0 ; i < a.v.size() ; i++ ) {
        for(int j =0 ; j < a.v[0].size() ; j++ ) {
            cout<<a.v[i][j]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }
}

int main()
{
    LL n , k;
    cin>>n>>k;
    if (n < k) {
        cout << 1 << endl;
        return 0;
    }
    if (n == k) {
        cout << 2 << endl;
        return 0;
    }
    matrix base(k ,k);
    matrix ans(k,k);
    for(int i = 0;i < k;i ++) ans.v[i][0] = 1;
    ans.v[k-1][0] = 2;
    base.v[k-1][0] = base.v[k-1][k-1] = 1;

    for(int i =1 ; i<  k ; i++ ) {
        base.v[i-1][i] = 1;
    }
    ans = power(base , n-k)*ans;
    cout<<ans.v[k-1][0]<<endl;
    return 0;
}