Cyclic Permutations (正反向思维（详细个人证明）+快速幂)

题目来源

https://codeforces.com/contest/1391/problem/C

题目原文

题目描述

对于所有长度为n的排列，找出有多少个满足其中存在至少一个简单环。（对于排列中的每个值a[i]，和其左右两边第一个大于它的a[j]连一条无向边）

题解思路

首先，正向思考，满足至少有一个简单环的排列，内部至少存在一组相邻三个数中的中间数最小的情况（思维证明都是个人思考，可能存在不严谨性，如有问题欢迎指出，萌新我会及时修改的）

证明如下：

• 首先存在上述情况的排列一定满足，对于a[i]和a[i+2]，如果a[i]>a[i+2]，则a[i+2]向左找第一个大于它的数则为a[i]，所以a[i]和a[i+2]相连，反之如果a[i]
• 不存在只含有不相邻的三个数满足上述关系的排列，且假设存在，由于简单环定义为v1…vk，为连续段，也不满足，下面给出不存在只含这样关系排列的证明。
  
• 对于一个简单环中大于等于4个数且不存在其中3个数满足上述情况的排列，不会成立

而在推算公式的时候，正面计算会出现大量重复，对于n-1个数分别当选三角关系中的最小值且在剩下的比它大的数中取出2个组成三角关系，将剩下的数进行全排列，假设剩下的数为x，则会出现x+1个空位，将此三角插入空位计算出满足的数量，而这种计算方法中剩余的全排列中可能会存在三角关系，因此会有重复出现，计算麻烦，而此也启示我们反向思考会很简单。

对于反向思考，即一个三角关系也不存在的排列即为不合法排列，而这样的排列即为
如下图的排列，任何三个数都不可能组成为上述三角关系。最大值n摆放好，剩下的n-1个可以选择放在n左边或者右边，而不论放在哪边，它在这一边的位置都是固定的，因为要满足单调。

而这样的排列公式则为全排列n！-2的n-1次。（2的n-1次运用快速幂可以得出）下面给出代码

#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL mod=1e9+7;
LL qmi(LL a,int b,LL mod)
{
    LL res=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)res=res*a%mod;
        b>>=1;
        a=a*a%mod;
    }
    return res;
}
int main(void)
{
    int n;
    LL x=1;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)x=x*i%mod;
    LL t=qmi(2,n-1,mod);
    cout<<((x-t)+mod)%mod;
    return 0;
}