《编程之美》买书问题——动态规划

问题描述：

         在节假日的时候，书店一般都会做促销活动。由于《哈利波特》系列相当畅销，店长决定通过促销活动来回馈读者。上柜的《哈利波特》平装本系列中，一共有五卷。假设每一卷单独销售均需8欧元。如果读者一次购买不同的两卷，就可以扣除5%的费用，三卷则更多。假设具体折扣的情况如下：

 

本数	折扣
2	5%
3	10%
4	20%
5	25%

        

       在一份订单中，根据购买的卷数及本数，就会出现可以应用不同折扣规则的情况。但是，一本书只会应用一个折扣规则。比如，读者一共买了两本卷一，一本卷二。那么，可以享受到5%的折扣。另外一本卷一则不能享受折扣。如果有多种折扣，希望计算出的总额尽可能的低。

         要求根据以上需求，设计出算法，能够计算出读者所购买的一批书的最低价格。

 

输入样例：

1 1 1 0 0

1 1 1 1 1

 

输出样例：

21.6

30

 

思路分析：

         看到这个题目，任何人一开始想到的都是希望让书本尽可能享受高折扣。但是随着书本数目大于5本的时候，享受的总折扣就会相应出现了变化。

         举个例子， 当输入的数据为(2,2,2,1,1)的时候，如果按照享受最高折扣计算，那么对应的折扣策略就会拆分变成(1,1,1,1,1)和(1,1,1,0,0)两种，总价格变为8×0.75×5＋8×0.9×3＝ 51.6欧元。但是如果我们变一下策略，选择4+4，购买序列变为(1,1,1,1,0)以及(1,1,1,0,1)，那么总共花费8×0.8×5＋8×0.8×5＝51.2欧元。

看到这里，我们已经可以使用动态规划通过计算总折扣数来计算最优惠价格，当然，也可以采用优化的贪心算法来实现，因为贪心算法求解这类题目都是近似解，与最优解相近。

 

解题：

先将现有条件转换一下（用百分比表示书本单价的多少倍）：

 

本数	相对于书本单价的百分比
1	100%
2	190%
3	270%
4	320%
5	375%

 

具体说明一下吧：

当只有一本书的时候，没有折扣，所以为100%，即原价8欧元购买；

当有两本不同的书本，享有5%折扣，原本总价为200% ，减掉每本5%折扣，为190%，即15.2欧元；

当有三本不同的书本，享有10%折扣，原本总价为300%，减掉每本10%折扣，为270%，即21.6欧元；

当有四本不同的书本，享有20%折扣，原本总价为400%，减掉每本的20%折扣，为320%，即25.6欧元；

当有五本不同的书本，享有25%折扣，原本总价为500%，减掉每本的25%折扣，为375%，即30欧元；

以上折扣数据存放在minDis[6]中

即minDIs[6] = {0 , 1.9 , 2.7 , 3.2 , 3.75 };

根据上述条件描述，我们可以定义出一条状态转移方程（核心）：

F[Y1,Y2,Y3,Y4,Y5] = min{

8*minDis[5]+F(Y1-1,Y2-1,Y3-1,Y4-1,Y5-1),

8*minDis[4]+F(Y1-1,Y2-1,Y3-1,Y4-1,Y5),

8*minDis[3]+F(Y1-1,Y2-1,Y3-1,Y4,Y5),

8*minDis[2]+F(Y1-1,Y2-1,Y3,Y4,Y5),

8*minDis[1]+F(Y1-1,Y2,Y3,Y4,Y5)

}

       其中必须保证Y1>=Y2>=Y3>=Y4>=Y5，这样才不会出现更多的冗余数据。例如：(2,2,2,1,1)和(1,2,1,2,2)虽然不同，但是结果都是一样的。

#define  _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
int main(void)
{
	double discount[6] = { 0, 1, 1.9, 2.7, 3.2, 3.75 };//存放购买不同本数的折扣
	int book[6] = { 0 };
	int bookCount = 0;//书本总类目
	int bookPrice = 8;//书本价格
	cout << "请输入五类书中每一类书的数目：" << endl;
	for (int i = 1; i <= 5; i++)
	{
		cin >> book[i];//输入各类书本的数目
	}
	sort(book + 1, book + sizeof(book) / sizeof(int), greater());//保证Y1>=Y2>=Y3>=Y4>=Y5
	float arr[6][6][6][6][6] = { 0 };//存放折扣计算过程
	float minDis[6][6][6][6][6] = { 0 };//存放享有的最大折扣


	int y1 = 0;
	int y2 = 0;
	int y3 = 0;
	int y4 = 0;
	int y5 = 0;
	/*
		实现公式F(Y1，Y2，Y3，Y4，Y5) = MIN{...}  时间复杂度O（Y1×Y2×Y3×Y4×Y5) 空间复杂度为（Y1×Y2×Y3×Y4×Y5)
	*/
	for (y5 = 0; y5 <= book[5]; y5++)
	{
		for (y4 = y5; y4 <= book[4]; y4++)
		{
			for (y3 = y4; y3 <= book[3]; y3++)
			{
				for (y2 = y3; y2 <= book[2]; y2++)
				{
					for (y1 = y2; y1 <= book[1]; y1++)
					{
						double a[6] = { 0 };//存放不同购书策略所产生的临时数据
						int dir[5] = {0};//存放下一步策略的Y1 Y2 Y3 Y4 Y5
						if (y5 > 0)
						{
							dir[4] = y5 - 1;
							dir[3] = y4 - 1;
							dir[2] = y3 - 1;
							dir[1] = y2 - 1;
							dir[0] = y1 - 1;
							sort(dir, dir + 5, greater());//保证Y1>=Y2>=Y3>=Y4>=Y5
							a[5] = arr[dir[0]][dir[1]][dir[2]][dir[3]][dir[4]] + discount[5] * bookPrice;
						}
						if (y4 > 0)
						{
							dir[4] = y5;
							dir[3] = y4 - 1;
							dir[2] = y3 - 1;
							dir[1] = y2 - 1;
							dir[0] = y1 - 1;
							sort(dir, dir + 5, greater());
							a[4] = arr[dir[0]][dir[1]][dir[2]][dir[3]][dir[4]] + discount[4] * bookPrice;
						}
						if (y3 > 0)
						{
							dir[4] = y5;
							dir[3] = y4;
							dir[2] = y3 - 1;
							dir[1] = y2 - 1;
							dir[0] = y1 - 1;
							sort(dir, dir + 5, greater());
							a[3] = arr[dir[0]][dir[1]][dir[2]][dir[3]][dir[4]] + discount[3] * bookPrice;
						}

						if (y2 > 0)
						{
							dir[4] = y5;
							dir[3] = y4;
							dir[2] = y3;
							dir[1] = y2 - 1;
							dir[0] = y1 - 1;
							sort(dir, dir + 5, greater());
							a[2] = arr[dir[0]][dir[1]][dir[2]][dir[3]][dir[4]] + discount[2] * bookPrice;
						}
						if (y1 > 0)
						{
							dir[4] = y5;
							dir[3] = y4;
							dir[2] = y3;
							dir[1] = y2;
							dir[0] = y1 - 1;
							sort(dir, dir + 5, greater());
							a[1] = arr[dir[0]][dir[1]][dir[2]][dir[3]][dir[4]] + discount[1] * bookPrice;
						}
						for (int i = 0; i < sizeof(a) / sizeof(double); i++)
						{
							if ((minDis[y1][y2][y3][y4][y5] > a[i] && a[i]) || minDis[y1][y2][y3][y4][y5] == 0)
								minDis[y1][y2][y3][y4][y5] = a[i];//将折扣最大的（即数字最小，但不为0的元素记录在minDIs中）
						}
						arr[y1][y2][y3][y4][y5] = minDis[y1][y2][y3][y4][y5];//将minDis赋值给arr[y1][y2][y3][y4][y5],下一轮继续使用
					}
				}
			}
		}
	}
	printf("当前购买书本可享有最低的价格为：%.2f", minDis[book[1]][book[2]][book[3]][book[4]][book[5]]);//书本享有的总优惠*书本价格*书本数目/书本数目=书本享有总优惠*书本价格

	cout << endl;
	system("pause");
	return 0;
}