2020 Multi-University Training Contest 5

Tetrahedron

$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$

$E(x+y)=E(x)+E(y)$

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = 998244353;
const int N = 6e6 + 10;
int n;

ll qpow(ll a, ll b) {
    a %= mod;
    ll res = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) res = res * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

ll f[N], sum[N];

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);

    for (int i = 1, lim = 6e6; i <= lim; i++) {
        f[i] = qpow(1ll * i * i, mod - 2);
        sum[i] = (sum[i - 1] + f[i]) % mod;
    }

    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        cin >> n;
        ll a = (qpow(n, mod - 2) * 3) % mod;
        cout << ((a * sum[n]) % mod) << endl;
    }
    return 0;
}

Funny String
Boring Game
Expression
Array Repairing
Alice and Bob
Tree
Set2

Paperfolding

经画图 _{和撕了N张纸} 后发现，左右对折、上下对折之间的顺序没有任何关系，

假设左右对折了 $x$ 次，上下对折了 $y$ 次，最后横竖裁开，纸片个数 $=(2^x+1)(2^y+1)$

$$E(x)=\sum x\times p(x)=\sum _{x=0}^n\frac{C_n^x(2^x+1)(2^{n-x}+1)}{2^n}$$

其中分子部分
$$\begin{gathered} \sum _{x=0}^n{C}_n^x(2^x+1)(2^{n-x}+1) \\ =\sum _{x=0}^n{C}_n^x(2^n+2^x+2^{n-x}+1) \\ =2^n\sum _{x=0}^n{C}_n^x+(\sum _{x=0}^n{C}_n^x{2}^x+\sum _{x=0}^n{C}_n^x{2}^{n-x})+\sum _{x=0}^n{C}_n^x \end{gathered}$$

观察发现
$$\sum _{x=0}^n{C}_n^x{2}^x=\sum _{x=0}^n{C}_n^x{2}^x\times 1^{n-x}=(2+1{)}^n=3^n$$

对，就是化成二项式，就是下面这个↓

$$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^k{b}^{n-k}$$
当 $a=1$ 且 $b=1$ 时，

$$(1+1{)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{1}^k{1}^{n-k}=\sum _{k=0}^n{C}_n^k=2^n$$

然后回到本题，同理可得
$$\sum _{x=0}^n{C}_n^x{2}^{n-x}=\sum _{x=0}^n{C}_n^x{2}^{n-x}\times 1^x=(1+2{)}^n=3^n$$

因此化简原来的公式可以得出

$$E(x)=2^n+1+\frac{2\times 3^n}{2^n}$$

记个和这题没什么关系的笔记：

裁纸数个数的时候发现，如果只有左右对折 or 上下对折时，记 $a_x$ 为对折了 $x$ 次后纸片的个数

有如下数列：
$a_1=6$、$a_2=10$、$a_3=18$、$a_4=34$ …

$a_2-a_1=4$、$a_3-a_2=8$、$a_4-a_3=16$…

求像这种公差为等比数列的通项公式，一般分为如下步骤：

以上面的数列为例，记
$$a_{n+1}=a_n+2^{n+1}$$

然后让等式左右两边都减去同一个数 $x$，

$$a_{n+1}-x=a_n+2^{n+1}-x$$

这个数是自己构造的，构造出来的目的是使等式左右两边相似，这里令 $x=2^{n+2}$

$$a_{n+1}-2^{n+2}=a_n+2^{n+1}-2^{n+2}=a_n+2^{n+1}-2\times 2^{n+1}=a_n-2^{n+1}$$

发现 $a_n-2^{n+1}$ 是个公比 $q=1$ 的等比数列，

因此可以直接往前推

$$a_n-2^{n+1}=...=a_1-2^2=6-4=2$$

$$a_n=2^{n+1}+2$$

总结：若存在 $a_{n+1}=a_n+b^k$，则构造通项公式 $a_n-\frac{b^{k+1}}{b-1}$

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n;

namespace MOD { // 取模运算板子
    const ll mod = 998244353;

    ll qpow(ll a, ll b) {
        a %= mod;
        ll res = 1;
        while (b) {
            if (b & 1) res = res * a % mod;
            a = a * a % mod;
            b >>= 1;
        }
        return res;
    }

    ll Mul(ll a, ll b) {
        return (a * b) % mod;
    }

    ll Sub(ll a, ll b) {
        return (a - b + mod) % mod;
    }

    ll Add(ll a, ll b) {
        return (a + b) % mod;
    }
}
using namespace MOD;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);

    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        cin >> n;
        if (n == 0) cout << 4 << endl;
        else if (n == 1) cout << 6 << endl;
        else {
            ll _2n = qpow(2, n);// 2^n
            ll _3n = qpow(3, n); // 3^n
            ll Inv_2n = qpow(_2n, mod - 2); // 1/2^n

            ll res = Add(1, Add(_2n, Mul(Mul(2, _3n), Inv_2n)));
            cout << res << endl;
        }
    }
    return 0;
}

Function
Exam
Set1
An Easy Matrix Problem