378. 有序矩阵中第K小的元素（官方题解，未吃透，mark）

难度：中等

给定一个 n x n 矩阵，其中每行和每列元素均按升序排序，找到矩阵中第 k 小的元素。
请注意，它是排序后的第 k 小元素，而不是第 k 个不同的元素。

示例：

matrix = [
   [ 1,  5,  9],
   [10, 11, 13],
   [12, 13, 15]
],
k = 8,

返回 13。

提示：
你可以假设 k 的值永远是有效的，1 ≤ k ≤ n2 。

分析：

由题目给出的性质可知，这个矩阵内的元素是从左上到右下递增的（假设矩阵左上角为 matrix[0][0]matrix[0][0]）。以下图为例：

我们知道整个二维数组中 matrix[0][0]matrix[0][0] 为最小值，matrix[n - 1][n - 1]matrix[n−1][n−1] 为最大值，现在我们将其分别记作 ll 和 rr。

可以发现一个性质：任取一个数 midmid 满足 l\leq mid \leq rl≤mid≤r，那么矩阵中不大于 midmid 的数，肯定全部分布在矩阵的左上角。

例如下图，取 mid=8mid=8：

我们可以看到，矩阵中大于 midmid 的数就和不大于 midmid 的数分别形成了两个板块，沿着一条锯齿线将这个矩形分开。其中左上角板块的大小即为矩阵中不大于 midmid 的数的数量。

读者也可以自己取一些 midmid 值，通过画图以加深理解。

我们只要沿着这条锯齿线走一遍即可计算出这两个板块的大小，也自然就统计出了这个矩阵中不大于 midmid 的数的个数了。

走法演示如下，依然取 mid=8mid=8：

可以这样描述走法：

初始位置在 matrix[n - 1][0]matrix[n−1][0]（即左下角）；

设当前位置为 matrix[i][j]matrix[i][j]。若 matrix[i][j] \leq midmatrix[i][j]≤mid，则将当前所在列的不大于 midmid 的数的数量（即 i + 1i+1）累加到答案中，并向右移动，否则向上移动；

不断移动直到走出格子为止。

我们发现这样的走法时间复杂度为 O(n)O(n)，即我们可以线性计算对于任意一个 midmid，矩阵中有多少数不大于它。这满足了二分查找的性质。

不妨假设答案为 xx，那么可以知道 l\leq x\leq rl≤x≤r，这样就确定了二分查找的上下界。

每次对于「猜测」的答案 midmid，计算矩阵中有多少数不大于 midmid ：

如果数量不少于 kk，那么说明最终答案 xx 不大于 midmid；
如果数量少于 kk，那么说明最终答案 xx 大于 midmid。
这样我们就可以计算出最终的结果 xx 了。

作者：LeetCode-Solution
链接：https://leetcode-cn.com/problems/kth-smallest-element-in-a-sorted-matrix/solution/you-xu-ju-zhen-zhong-di-kxiao-de-yuan-su-by-leetco/
来源：力扣（LeetCode）
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代码：

class Solution {
    public int kthSmallest(int[][] matrix, int k) {
        int n = matrix.length;
        int left = matrix[0][0];
        int right = matrix[n - 1][n - 1];
        while (left < right) {
            int mid = left + ((right - left) >> 1);
            if (check(matrix, mid, k, n)) {
                right = mid;
            } else {
                left = mid + 1;
            }
        }
        return left;
    }

    public boolean check(int[][] matrix, int mid, int k, int n) {
        int i = n - 1;
        int j = 0;
        int num = 0;
        while (i >= 0 && j < n) {
            if (matrix[i][j] <= mid) {
                num += i + 1;
                j++;
            } else {
                i--;
            }
        }
        return num >= k;
    }

}

结果：