相关系数评价标准的相关知识

作者：niaocu
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说来话长，正好我讲过这一章，所以就从课件中复制粘贴过来（资料来源是David S. Moore的 《统计学的世界》），我尽量剪短一点（主要是公式太难粘贴，相信你可以在任何一本统计学书上找到下文所涉及的公式）。如果嫌前面背景介绍太麻烦，请直接到最后一段——

线性关系（straight-line）是相当重要的一种变量间的关系——它虽然简单但却很普遍。如果（散点图）中的点越接近一条直线，那么线性关系就越强，如果越散乱，则线性关系越弱。有一种数字方法可以帮助我们描述这种线性相关关系有多强，这个数字就是correlation——相关系数r（计算公式略）。。。

------相关系数背景知识-----

相关系数的含义 Understanding Correlation

比计算r（a task for a machine）更重要的是了解correlation是如何衡量相关关系。以下是关于r的几个事实：

► r正号正相关、负号负相关（Positive r indicatespositive association between the variables, and negative r indicates negativeassociation.）。

► r值介于[-1, 1]之间（The correlation r always fallsbetween –1 and 1）。r值越接近0，相关度越弱（等于0，线性无关），随着r值往-1或1移动，相关度增强，越接近-1或1，则points越接近一条直线。如果是取到极端值（r = -1和r = 1），则散点图的points就是在一条直线上。
► r与x, y变量的单位无关，改变变量的单位并不影响它们之间的相关关系（Becauser use standard scores, the correlation between x and y does notchange when we change the units of measurement of x, y, or both）。r本身没有单位。

► r不对自变量和因变量进行区分（Correlation ignoresthe distinction between explanatory and response variables）。如果对调我们对x和y的选择，r仍旧不变。

► r只衡量两个变量之间线性相关关系（straight-line association）的强弱。但无法描述两个变量间的曲线关系（curved relationships），不论这种曲线关系有多强。——即使r显示两个变量间线性无关，也无法断定两个变量间没有线性以外的关系。

----相关系数深入知识----

Correlation & regression 相关系数与回归

在线性回归分析中还经常可以看到r2——相关系数的平方，又叫相关判定系数。

r2 就是变量y值的变动能用回归直线来解释的比例（the fraction of the variation in the values of y that is explained by the least-squares regression of y on x）。其中的意义在于，假如存在直线回归关系，则y值的变动之中有一部分是由于x的变化引起的——x沿着回归直线拉动y值。涉及三个概念：

a. y的变动（Total sum of squares）——y的观测值yi围绕y均值的变动（Measures variation of observed yi around the mean），即SST

b. 可解释的变动（Explained variation）——由于x和y存在线性关系引起的变动（Variation due torelationship between x & y），即SSR

c. 不可解释的变动（Unexplained variation）——由于其它因素引起的变动（Variationdue to other factor），即SSE

三者的关系：SST = SSR + SSE，总变动 = 可解释变动 + 不可解释变动，如图

r2= 可预测的因x的变动引起的y在回归直线上变动 / y观测值的总变动

= 可解释变动 / 总变动

=SSR/SST

运用该方法计算出来的r2，与先计算相关系数r之后，再平方得到的是同一个数（计算相关系数r的另一个方法——先求r2，然后再开根号，但缺点是不能判断正负号（不知道相关的方向。）。由r2的计算公式可知，0≤r2≤1。r2的含义：

► 当r = ±1时，r2= 1，所有的点都在同一条直线上。直线关系解释所有y的变动（SST=SSR、y的变动全部由于x的变动引起），回归直线能完美预测y值。

► 当r≠±1且r≠0时，0<r2<1时（SST>SSR），线性关系能部分解释y的变动（所解释的部分就是r2所代表的值）。如前面施肥与产量的例子r = .956，r2=.914，亦即产量y的变动中大约有有91%能由与施肥量x线性关系来解释。

► 当r = 0，r2= 0，y的全部无法由于线性关系解释。

在回归预测中，通常用r2来衡量如果以回归模型来解释因变量有多成功(how successful the regressionwas in explaining the response)。如果提供的是相关系数，将其平方后你就能更好的理解线性关系的强弱。比如：如果r = ±.7，则两个变量线性相关关系介于线性无关（r = 0）和完全线性相关（ r = ±1）的“半路上”，因为(.7)^2= 0.49。课本上的练习和例子一般提供的r（甚至r2）都大于.9（高度相关），现实中只要回归模型的r2在.4、.5甚至.3（即相当于r在.5以上）就可以认为其拟合度相当高，可以利用其进行线性关系预测。

——资料来源：David S. Moore, 《统计学的世界》，中信出版社，2003年11月

问题到这里，你就知道为何

“相关系数 0.8-1.0 极强相关
0.6-0.8 强相关
0.4-0.6 中等程度相关
0.2-0.4 弱相关
0.0-0.2 极弱相关或无相关 ”

了吧？把相关系数平方一下。