递归专题---------HRBUST--2004--整数划分

题目链接：http://acm.hrbust.edu.cn/index.php?m=ProblemSet&a=showProblem&problem_id=2004

Description 将正整数n表示成一系列正整数之和：n=n1+n2+...+nk,其中n1>=n2>=...>=nk>=1。正整数n的这种表示称为正整数n的划分。求正整数n的不同划分个数。例如，正整数6有如下11种不同的划分：6: 6; 5+1; 4+2; 4+1+1; 3+3; 3+2+1; 3+1+1+1; 2+2+2; 2+2+1+1; 2+1+1+1+1; 1+1+1+1+1+1. Input 多组测试数据，输入到文件结束，每组数据包含一个正整数n(n<=40) Output 输出n的不同划分个数。 Sample Input 3 6   Sample Output 3 11

递归分析：

（n，m）代表对n进行划分，最大数为m的个数

1.递归时一共分四种情况，第一种 ( n == 1 | | m== 1 )，这时候（n，m）=1；

2.第二种  ( n < m ) ，就像对3划分，最大数为5，因为3最大划分成一个3，所以有（n，m）=（n，n）；

3.第三种 ( n == m ) ，就像对3划分，最大数为3，这里可以分为两种情况，一种是划分为单独的一个3，一种是划分为最大为2的分法，即（n，m）=1+ ( n , n - 1 )  。

4.第四种 （ n > m），这里对有划分后有没有最大数m进行讨论。

      4.1如果划分后有最大数，就像对n进行划分，划分最大数为m，这种情况下划分后的数肯定包括一个m，即划分为{m，x1，x2，x3+....+xi }，其中x1+x2+x3+.....+xi=n-m。这种情况就可以转化为对n-m划分，划分最大数为m，即（n，m）=（n-m，m）

      4.2如果划分后无最大数，就像对n进行划分，划分最大数为m，因为划分是没有最大数m，则有（n，m）=（n，m-1）

综上所述：

                                                 if ( n == 1 | | m == 1 )             （n，m）= 1；

                                                 if ( n < m )                               （n，m）=（n，n）；

                                                 if ( n == m )                              1+ ( n , n - 1 ) ；

                                                 if ( n > m )                               （n，m）=（n，m-1）

代码：

#include
using namespace std;
int q(int n,int m)//对n进行划分，最大数为m 
{
	if(n==1||m==1)
	    return 1;
	else if(n>n;
	cout<

还有一种数的划分，就是对n进行划分，分成m个数字。

（n，m）代表对n进行划分，分成m个数字的个数

这里也是分几种情况，前几种就不说了，下面说一下最重要的一种情况。因为是分成m个数，所以每个数最小是1，这里面就可以对分之后有没有1再进行讨论。

1.如果分之后没有1，那么有（n，m）=（n-m，m）；

2.如果分之后有1，那么有（n，m）=（n-1，m-1）；

综上：

（n，m）=（n-m，m）+（n-1，m-1）

至于为啥是这样的，这里就不做详细的解释了，如果不会的话，可以多看看上面例题，分类讨论的思想类似，也可以看看这一题   分苹果。

这几题思路都是类似的，只要找到分类讨论的关键点，问题就迎刃而解了，写这种题最重要的就是学到这类题的做题方法