Reservoir sampling（水塘抽样）

题目1：

给出一个数据流，这个数据流的长度很大或者未知。并且对该数据流中数据只能访问一次。请写出一个随机选择算法，使得数据流中所有数据被选中的概率相等。

对于复杂问题一定要学会归纳总结，即从小例子入手，然后分析，得出结论，然后在证明。不然遇到一个抽象问题，不举例感觉这个问题，直接解还是比较难的。

对于此问题的难处就是数据流的长度未知，如果已知，so easy。现在进行归纳总结：

1） 长度为1，只有一个数据，直接返回即可，此数据被返回的概率为1.

2）长度为2，当读取第一数据时，我们发现并不是最后一个数据，我们不能直接返回，因为数据流还没结束，继续读取，到第二数据的时候，发现已经结束。所以现在的问题就是等概率返回其中的一个，显然概率为0.5。所以此时我们可以生成一个0到1的随机数p，如果p小于0.5，返回第二个，如果大于0.5，返回第一个。显然此时两个数据被返回的概率是一样的。

3）长度为3，我们可以事先分析得到，为了满足题意，需要保证每个数据返回的概率都是1/3。接下来分析数据流，首先读取第一个数据，然后在读取第二个数据，此时可以按2）处理，保留一个数据，每个数据显然为1/2。此时读取第三个数据，发现到尾部了，为了满足题意，此时需要一1/3的概率决定是否取此数据。现在分析前两个数是否也是以1/3的概率返回，如果是则总体都满足。数据1和数据2同时留下的概率为：1/2 *（1-1/3）= 1/3。1/2只在数据1和数据2pk时，能留下的概率，1-1/3指数据3不被留下的概率。所以，对长度为3的数据流，在读取第三个数据时，我们可以生成一个0到1的随机数p，如果p小于1/3，返回第三个数据，否则，返回前面两个pk留下的数据。

由上面的分析，我们可以得出结论，在取第n个数据的时候，我们生成一个0到1的随机数p，如果p小于1/n，保留第n个数。大于1/n，继续保留前面的数。直到数据流结束，返回此数。

下面用数学归纳法证明此结论。

1)当n=1时，第一个元素以1/1的概率返回，符合条件。

2)假设当n=k时成立，即每个元素都以1/k的概率返回，先证明n=k+1时，是否成立。

对于最后一个元素显然以1/k+1的概率返回，符合条件，对于前k个数据，被返回的概率为1/k * (1- 1/k+1)=1/k+1，满足题意。

综上所述，结论成立。

题目2

对于题目1的要就变为，最后返回的结果长度为k，这就是水塘抽样

显然有了对题目1的理解，我们可以直接替换结论，只需把上面的1/n变为k/n即可。

在取第n个数据的时候，我们生成一个0到1的随机数p，如果p小于k/n，替换池中任意一个为第n个数。大于k/n，继续保留前面的数。直到数据流结束，返回此k个数。但是为了保证计算机计算分数额准确性，一般是生成一个0到n的随机数，跟k相比，道理是一样的。

可以以同样的方法证明之。

（1）初始情况k<=n，出现在水库中的k个元素的出现概率都是一致的，都是1
（2）第一步。第一步就是指，处理第k+1个元素的情况。分两种情况：元素全部都没有被替换；其中某个元素被第k+1个元素替换掉。
我们先看情况2：第k+1个元素被选中的概率是k/(k+1)（根据公式k/i），所以这个新元素在水库中出现的概率就一定是k/(k+1)（不管它替换掉哪个元素，反正肯定它是以这个概率出现在水库中）。下面来看水库中剩余的元素出现的概率，也就是1-P(这个元素被替换掉的概率)。水库中任意一个元素被替换掉的概率是：(k/k+1)*(1/k)=1/(k+1)，意即首先要第k+1个元素被选中，然后自己在集合的k个元素中被选中。那它出现的概率就是1-1/(k+1)=k/(k+1)。可以看出来，旧元素和新元素出现的概率是相等的。
情况1：当元素全部都没有替换掉的时候，每个元素的出现概率肯定是一样的，这很显然。但具体是多少呢？就是1-P(第k+1个元素被选中)=1-k/(k+1)=1/(k+1)。
（3）归纳法：重复上面的过程，只要证明第i步到第i+1步，所有元素出现的概率是相等的即可。

伪代码如下：

//stream代表数据流
//reservoir代表返回长度为k的池塘

//从stream中取前k个放入reservoir；
for ( int i = 1; i < k; i++)
    reservoir[i] = stream[i];
for (i = k; stream != null; i++) {
    p = random(0, i);
    if (p < k) reservoir[p] = stream[i];
return reservoir;