Coursera机器学习课程笔记(4) Regularization

过拟合问题

如果我们有非常多的特征，我们通过学习得到的假设可能能够非常好地适应训练集（代价函数可能几乎为 0），但是可能会不能推广到新的数据。

分类问题中也存在这样的问题：

就以多项式理解，x 的次数越高，拟合的越好，但相应的预测的能力就可能变差。
问题是，如果我们发现了过拟合问题，应该如何处理？

代价函数

我们可以从之前的事例中看出，正是那些高次项导致了过拟合的产生，所以如果我们能让这些高次项的系数接近于 0 的话，我们就能很好的拟合了。

所以我们要做的就是在一定程度上减小这些参数θ的值，这就是正则化的基本方法。我们决定要减少 θ3 和 θ4 的大小，我们要做的便是修改代价函数，在其中 θ3 和 θ4 设置一点惩罚。这样做的话，我们在尝试最小化代价时也需要将这个惩罚纳入考虑中，并最终导致选择较小一些的 θ3 和 θ4。

通过这样的代价函数选择出的 θ3 和 θ4 对预测结果的影响就比之前要小许多。假如我们有非常多的特征，我们并不知道其中哪些特征我们要惩罚，我们将对所有的特征进行惩罚，并且让代价函数最优化的软件来选择这些惩罚的程度。这样的结果是得到了一个较为简单的能防止过拟合问题的假设：

其中 λ 又称为正则化参数（Regularization Parameter）。 注：根据惯例，我们不对 θ0 进
行惩罚。经过正则化处理的模型与原模型的可能对比如下图所示：

如果选择的正则化参数 λ 过大，则会把所有的参数都最小化了，导致模型变成 hθ(x)=θ0 也就是上图中红色直线所示的情况，造成欠拟合。
那为什么增加的一项 可以使θ的值减小呢？
因为如果我们令λ的值很大的话，为了使 Cost Function 尽可能的小，所有的θ的值（不
包括θ0）都会在一定程度上减小。
但若λ的值太大了，那么θ（不包括θ0）都会趋近于 0，这样我们所得到的只能是一条
平行于 x 轴的直线。
所以对于正则化，我们要取一个合理的λ的值，这样才能更好的应用正则化。

正则化线性回归

正则化线性回归的代价函数为：

正则化的逻辑回归模型