CodeForces1334 E. Divisor Paths (数论)

题意：

给一个整数d
现在有一张图：
1.图中的节点是d的所有约数（包括1和d）
2.顶点x到y有一条无向边，当且仅当x能整除y且y除以x的结果是一个质数
3.边的权值为"是x的约数但是不是y的约数"的数的个数

当d=12的时候，图例：

接下来给一个整数q，表示有q组询问，每组询问：
给两个整数a，b，保证这两个数是图上的节点，
问a到b的最短路径有多少种（例：上图中12到1的最短路有三种）

数据范围：d<=1e12,q<=3e5

解法：

设a和b的gcd为k
答案为a到k的方案数乘上b到k的方案数

点x走到点y的本质是添加一个质因子或者删除一个质因子，并花费一定代价
要最快的使点a和点b相同，只有都向gcd的方向减少质因子才满足
如果过程中增加了一个不相干的质因子，之后需要减掉，会花费额外的代价，因此只能是减少

方案数的计算：
设A=a/k，则A为a到k所需要减少的质因子的乘积
因为每条边只减少一个质因子，总方案数为A质因子总数量的全排列(方案数为即质因子总数的阶乘)，
还需要去重，除以每种质因子数量的阶乘
这部分需要预处理阶乘和阶乘逆元

B同理

另外，对A和B进行O(√n)的质因子分解显然会tle
注意到图中的节点一定都是d的约数，那么出现的质因子一定也都是d的质因子
因此O(√n)预处理出d的质因子，对A和B质因子分解的时候遍历d的质因子就行了

code：

#include
using namespace std;
#define int long long
int gcd(int a,int b){
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int ppow(int a,int b,int mod){
    int ans=1%mod;a%=mod;
    while(b){
        if(b&1)ans=ans*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
//
const int maxm=2e5+5;
const int mod=998244353;
int fac[maxm],inv[maxm];
vector<int>p;//存d的质因子
void init(){
    //预处理到100够用了
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=100;i++){//阶乘
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    }
    inv[100]=ppow(fac[100],mod-2,mod);
    for(int i=99;i>=1;i--){//阶乘逆元
        inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
    }
}
int solve(int x){//计算x到1有多少种方案
    int ans=1;
    int tot=0;//质因子的总个数
    for(int v:p){
        if(x%v==0){
            int cnt=0;//当前质因子的个数
            while(x%v==0)x/=v,cnt++;
            tot+=cnt;
            ans=ans*inv[cnt]%mod;
        }
    }
    ans=ans*fac[tot]%mod;
    return ans;
}
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);
    init();
    int d;cin>>d;
    for(int i=2;i*i<=d;i++){//处理d的质因子
        if(d%i==0){
            p.push_back(i);
            while(d%i==0)d/=i;
        }
    }
    if(d!=1)p.push_back(d);
    //
    int q;cin>>q;
    while(q--){
        int a,b;cin>>a>>b;
        int g=gcd(a,b);
        a/=g,b/=g;//除以gcd
        int ans=solve(a)*solve(b)%mod;
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

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