动态规划--背包问题

92. Backpack

【题目】

Given n items with size Ai, an integer m denotes the size of a backpack. How full you can fill this backpack?

在n个物品中挑选若干物品装入背包，最多能装多满？

【样例】
如果有4个物品[2, 3, 5, 7]
如果背包的大小为11，可以选择[2, 3, 5]装入背包，最多可以装满10的空间。

如果背包的大小为12，可以选择[2, 3, 7]装入背包，最多可以装满12的空间。

【分析】
物品不可分解，是一个0-1背包问题，需要进行动态规划。背包容量为m，物品总数为n，物品i所占的空间为A[i]，对于每个物品，需要借鉴之前放置物品的情况，判断对应空间是否可以放置该物品。找出m范围内被占用的最大空间。
对于物品i，空间j被占用有两种情况。

1. 当前物品不加入，空间j已经被前面的物品占用；C[i-1][j] = true;

2. 当前物品加入，空间j-A[i]恰好被前面的物品占用。j – A[i] >= 0 && C[i-1][j-A[i]] = true

【解法1--二维数组】

使用大小为C[n+1][m+1]的二维数组记录放置物品的过程。

初始时，C[0][0]为true，其他位置均为false。

对每个物品i，遍历所有空间，物品i对空间的占用在C[i+1]行表示。

class Solution {
public:
    int backPack(int m, vector A) {
        //使用大小为C[n+1][m+1]的二维数组记录放置物品的过程。
        //对于物品i，空间j被占用有两种情况。
        //1.	当前物品不加入，空间j已经被前面的物品占用；C[i-1][j] = true;
        //2.	当前物品加入，空间j-A[i]恰好被前面的物品占用。j – A[i] >= 0 &&C[i-1][j-A[i]] = true 
        int n = A.size();
        vector > C(n+1, vector (m+1, false));
        C[0][0] = true;
        for (int i = 1; i <= A.size(); ++i)
            for (int j = 0; j <= m; ++j)
                C[i][j] = C[i-1][j] || j-A[i-1] >= 0 && C[i-1][j-A[i-1]];
        //返回占用的最大空间
        for (int j = m; j >= 0; --j)
            if (C[A.size()][j])
                return j;
    }
};

【解法2--一维数组】

建立大小为m+1的一位数组记录放置物品的过程，对每个物品更新一次数组。但需要按照空间由大到小更新。因为当前物品对空间的占用都是在上一个物品放置的基础上，由大到小更新借鉴的是之前物品对空间的占用情况，而由小到大更新，可能重复将当前物品放入空间。即该物品已放入空间，后面遇到更大的空间时，会再更新一次，出错。

class Solution {
public:
    int backPack(int m, vector A) {
        //使用大小为C[m+1]的一维数组记录放置物品的过程。对每个物品更新一次数组。但需要按照空间由大到小更新。
        //对于物品i，空间j被占用有两种情况。
        //1.	当前物品不加入，空间j已经被前面的物品占用；C[j] = true;
        //2.	当前物品加入，空间j-A[i]恰好被前面的物品占用。C[j-A[i]] = true 
        vector C(m+1, false);
        C[0] = true;
        for (int i = 0; i < A.size(); ++i)
            for (int j = m; j >= A[i]; --j)
                C[j] = C[j] || C[j-A[i]];
        for (int j = m; j >= 0; --j)
            if (C[j])
                return j;
    }
};

125. Backpack II

【题目】

Given n items with size Ai and value Vi, and a backpack with size m. What's the maximum value can you put into the backpack?

给出n个物品的体积A[i]和其价值V[i]，将他们装入一个大小为m的背包，最多能装入的总价值有多大？

【样例】
对于物品体积[2, 3, 5, 7]和对应的价值[1, 5, 2, 4], 假设背包大小为10的话，最大能够装入的价值为9。

【分析】
物品不可分解，是一个0-1背包问题，需要进行动态规划。背包容量为m，物品总数为n，物品i所占的空间为A[i]，对应价值为V[i]。对于每个物品，更新对应空间的价值为最大价值。找出m范围内放置物品的最大价值。

【解法1--二维数组】

使用大小为C[n+1][m+1]的二维数组记录放置物品的过程。

物品i对空间的占用在C[i+1]行表示。对于物品i，空间j的价值更新有两种情况。

1.   当前物品无法加入背包，因为所占空间大于现有空间。当前价值为上一物品的价值C[i-1][j]；

2.   当前物品可以加入背包加入，需要满足j – A[i] >= 0。但价值因为当前物品是否加入而变化。如果选择不加入背包，价值为C[i-1][j]，如果选择加入背包，当前价值为C[i-1][j-A[i]] + V[i]。选择最大价值。即max(C[i-1][j], C[i-1][j-A[i]] + V[i]);

class Solution {
public:
    int backPackII(int m, vector A, vector V) {
        int n = A.size();
        vector > C(n+1, vector (m+1, 0));
        for (int i = 1; i <= A.size(); ++i) {
            for (int j = 0; j <= m; ++j) {
                if (j < A[i-1])
                    C[i][j] = C[i-1][j];
                else
                    C[i][j] = max(C[i-1][j], C[i-1][j-A[i-1]] + V[i-1]);
            }
        }
        return C[n][m];
    }
};

【解法2--一维数组】

int backPackII(int m, vector A, vector V) {
        //使用一维数组记录，按照空间从大到小遍历
        vector C(m+1, 0);
        C[0] = 0;
        for (int i = 0; i < A.size(); ++i)
            for (int j = m; j >= A[i]; --j)
                C[j] = max(C[j], C[j-A[i]] + V[i]);
        return C[m];
}