LeetCode刷题之旅——50. Pow(x, n)

50. Pow(x, n)

实现 pow(x, n) ，即计算 x 的 n 次幂函数。

示例 1:

输入: 2.00000, 10
输出: 1024.00000
示例 2:

输入: 2.10000, 3
输出: 9.26100
示例 3:

输入: 2.00000, -2
输出: 0.25000
解释: 2-2 = 1/22 = 1/4 = 0.25
说明:

-100.0 < x < 100.0
n 是 32 位有符号整数，其数值范围是 [−231, 231 − 1] 。

题解：
前言
本题的方法被称为「快速幂算法」，有递归和迭代两个版本。这篇题解会从递归版本的开始讲起，再逐步引出迭代的版本。

当指数 nn 为负数时，我们可以计算 x^{-n}x
−n
再取倒数得到结果，因此我们只需要考虑 nn 为自然数的情况。

方法一：快速幂 + 递归
「快速幂算法」的本质是分治算法。举个例子，如果我们要计算 x^{64}x
64
，我们可以按照：

x \to x^2 \to x^4 \to x^8 \to x^{16} \to x^{32} \to x^{64}
x→x
2
→x
4
→x
8
→x
16
→x
32
→x
64

的顺序，从 xx 开始，每次直接把上一次的结果进行平方，计算 66 次就可以得到 x^{64}x
64
的值，而不需要对 xx 乘 6363 次 xx。

再举一个例子，如果我们要计算 x^{77}x
77
，我们可以按照：

x \to x^2 \to x^4 \to x^9 \to x^{19} \to x^{38} \to x^{77}
x→x
2
→x
4
→x
9
→x
19
→x
38
→x
77

的顺序，在 x \to x^2x→x
2
，x^2 \to x^4x
2
→x
4
，x^{19} \to x^{38}x
19
→x
38
这些步骤中，我们直接把上一次的结果进行平方，而在 x^4 \to x^9x
4
→x
9
，x^9 \to x^{19}x
9
→x
19
，x^{38} \to x^{77}x
38
→x
77
这些步骤中，我们把上一次的结果进行平方后，还要额外乘一个 xx。

直接从左到右进行推导看上去很困难，因为在每一步中，我们不知道在将上一次的结果平方之后，还需不需要额外乘 xx。但如果我们从右往左看，分治的思想就十分明显了：

当我们要计算 x^nx
n
时，我们可以先递归地计算出 y = x^{\lfloor n/2 \rfloor}y=x
⌊n/2⌋
，其中 \lfloor a \rfloor⌊a⌋ 表示对 aa 进行下取整；

根据递归计算的结果，如果 nn 为偶数，那么 x^n = y^2x
n
=y
2
；如果 nn 为奇数，那么 x^n = y^2 * xx
n
=y
2
∗x；

递归的边界为 n = 0n=0，任意数的 00 次方均为 11。

由于每次递归都会使得指数减少一半，因此递归的层数为 O(\log n)O(logn)，算法可以在很快的时间内得到结果。

代码：

class Solution:
    def myPow(self, x: float, n: int) -> float:
        def quickMul(N):
            if N == 0:
                return 1.0
            y = quickMul(N // 2)
            return y * y if N % 2 == 0 else y * y * x
        
        return quickMul(n) if n >= 0 else 1.0 / quickMul(-n)

复杂度分析

时间复杂度：O(\log n)O(logn)，即为递归的层数。

空间复杂度：O(\log n)O(logn)，即为递归的层数。这是由于递归的函数调用会使用栈空间。

答案网址