RANSAC Fitting

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文章链接： http://blog.csdn.net/yhl_leo/article/details/73294793

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RANSAC 算法是一种常用的估计模型参数的方法，相关的算法介绍网上有很多，这里不再累述，主要介绍如何利用RANSAC 方法进行 2D 直线以及 3D 平面拟合。

Source code (python version): Github/yhlleo/RANSAC-fit

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1 拟合模型

之所以要自己去实现算法，主要是由于可以直接使用的代码程序和函数库，对于直线以及平面方程一般使用：

• lines: y=ax+b
• planes: z=ax+by+c

这样不通用的表达方式，对于自然情景中的很多线性回归问题，一般没什么问题，但是对于一些简单的应用情景，比如本文提到的直线、平面拟合问题，就不具有绝对的通用性，比如斜率不存在的line : x=n, n∈R ，上述的直线方程就无法拟合，同理平面拟合也存在类似问题。因此，采用下面的方法更具有一般性：

• lines: ax+by+c=0
• planes: ax+by+cz+d=0

对于 2D 直线采用两点式方程，给定直线上任意不同两点 p(x1,y1), q(x2,y2) ，则有：

y−y1y2−y1=x−x1x2−x1

展开为点积式：

(y−y1)(x2−x1)=(x−x1)(y2−y1)

进而可以得到：

a=y2−y1, b=x1−x2,c=x2y1−x1y2

在对直线进行归一化处理：

a=aa2+b2−−−−−−√,b=ba2+b2−−−−−−√,c=ca2+b2−−−−−−√

同时，如果 a≠0 ，令 a>0 , 否则令 b>0 。

3D 平面则采用三点式直线方程，给定平面上任意不共线的三点 {pi(xi,yi), i=1,2,3.} ， 则有：

∣∣∣∣∣x−x1x2−x1x3−x1y−y1y2−y1y3−y1z−z1z2−z1z3−z1∣∣∣∣∣=0

对等式左边行列式按照第一行，进行行展开可得：

(x−x1)∣∣∣y2−y1y3−y1z2−z1z3−z1∣∣∣+(y−y1)∣∣∣z2−z1z3−z1x2−z1x3−z1∣∣∣+(z−z1)∣∣∣x2−z1x3−z1y2−y1y3−y1∣∣∣=0

进而可得：

a=(y2−y1)(z3−z1)−(z2−z1)(y3−y1)

b=(z2−z1)(x3−x1)−(x2−x1)(z3−z1)

c=(x2−x1)(y3−y1)−(y2−y1)(x3−x1)

d=−ax1−by1−cz1

同样进行归一化处理：

a=aN,b=bN,c=cN,d=dN, N=a2+b2+c2−−−−−−−−−√

拟合过程中，判断inlier 和 outlier的判别函数，分别采用点到直线、平面的距离公式：

• point to line: d=|ax0+by0+c|
• point to plane: d=|ax0+by0+cz0+d|

注： 因为对直线和平面都已经进行了归一化处理，所以计算距离部分的分母都略去。

迭代过程如图：

2 优化拟合模型

通过简单的迭代获得的模型，可以满足inliers 数量最大，但是并不一定最优，可以根据inliers的特征值以及特征向量进行优化，这里把测试的结果图展示如下：

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• References:
  
  • https://en.wikipedia.org/wiki/Random_sample_consensus
  • Robust linear model estimation using RANSAC
  • Performance Evaluation of RANSAC Family