Codeforces 665E. Beautiful Subarrays (字典树)

题目链接：http://codeforces.com/problemset/problem/665/E

                     (http://www.fjutacm.com/Problem.jsp?pid=2255)

题意：找出有多少个连续的区间[l,r](1  ≤  l  ≤  r  ≤  n),该区间中所有的数的异或值大于等于k；

思路：首先，如果是单看题目的话，会发现暴力的话复杂度是O(n^3),但是我们先预处理异或前缀和，然后你会发现[l,r]区间的异或和等于s[l-1]^s[r]，这样就可以O(n^2)的求得答案了，但是因为n是1e6，也就是说暴力绝对超时，因为时间才开了3s（虽然说cf里一秒时限，1e10复杂度也可以莽一莽，但是这个是1e12啊！！）。然后，我们会想，因为是异或，而且是要比较，于是乎我们就想到了字典树（不要问为什么，我就是这样想到的）。然后我们可以开始一波分析：

{

         假设：全是5位二进制(默认补全到5位)

         前提：S[i]是前i个数的异或和，  K为题目里的K，  A是S[i]^A=K 即S[i]^K=A

         S[i] = 5

         K  = 24

         从高位到低位存入字典树时（默认已经存入，现在在find操作）：

         {

                   S[i]：00101

                   K ： 11000

                  第五位时：k=1，则说明这一位必须往S[i]第五位的异或值方向走，因为我们现在是在查A在字典树上的路径，至于为什么只跑这个数就可以求答案，我们慢慢来。

　　　　　第四位同理；

　　　　　  第三位时：（#敲黑板划重点）这个时候K的第三位为0，按照我说的来看，我们找A在树上的路径，那么此时我们要跑的下一步是S[i]的第三位和K第三位的异或值也就是A的第三位，那么如果我下一步不往这个方向走呢（此时A的第三位等于S[i]的第三位）？我往S[i]的第三位异或1的方向跑（反向），那么那个方向延伸的树枝上的所有数字就都是大于K的（这里不做解释），也就是我们虽然不需要跑那里，但是我们要加上经过那个延伸出去的树枝包含的数字个数；

　　　　　第二位、第一位同第三位的代码；

 

          　　  在跑完所有的情况的时候，我们就求出了所有的A，A满足S[i]^A>k，没错，还少，还少一个等于的情况，此时，我们只需要判断我们是否跑完了5位，如果跑完了5位，就加上使用过当前节点的数的个数就得到了答案。

         }

         换一种说法其实就是在字典树上跑A这个数，如果跑到A这个数的某一节点的时候，此时恰好k的这位为0，那么就加上那一位上s[i]^1方向的所有跑过的数字的数量

         Ps：为什么从高位到低位，要是有人不明白就按照上面的方法看看吧！然后你会发现因为高位的值的不确定导致你不能判断。

}

于是乎我们就可以开始写代码了。

Ps：这题的数组大小开到1<<24就好了（本菜鸡之前因为数组开小wa成傻逼）

 

 1 #include<string.h>
 2 #include
 3 #include
 4 #include
 5 using namespace std;
 6 struct Trie
 7 {
 8     const static int range=2;
 9     const static int maxn=1<<24;///字典树大小
10     struct node
11     {
12         int next[range];
13         int cnt;///存该节点的经过数字之和
14     } Trienode[maxn];
15     int size;
16     void init()
17     {
18         memset(Trienode[0].next,0,sizeof(Trienode[0].next));
19         Trienode[0].cnt=0;
20         size=1;
21     }
22     void insert(int s)
23     {
24         int now=0;
25         for(int i=30; i>=0; i--)///存31位
26         {
27             int c=(s>>i)&1;
28             if(!Trienode[now].next[c])///没有该节点就开辟
29             {
30                 memset(Trienode[size].next,0,sizeof(Trienode[size].next));
31                 Trienode[size].cnt=0;
32                 Trienode[now].next[c]=size++;
33             }
34             now=Trienode[now].next[c];///往后存
35             Trienode[now].cnt++;///这个数字经过了该节点，cnt++，因为第一个节点不算，所以说是先往后走再cnt++
36         }
37     }
38     int find(int s, int k)
39     {
40         int now=0,i, ans=0;
41         for(i=30; i>=0; i--)///找30位
42         {
43             int c=(s>>i)&1, key=(k>>i)&1;///c:存s[i]的第i位， key:存k的第i位
44             if(!key&&Trienode[now].next[c^1])///如果key=0的时候，参照上面的分析
45                 ans+=Trienode[Trienode[now].next[c^1]].cnt;
46             if(Trienode[now].next[c^key])///往s[i]^K的方向越走越远
47                 now=Trienode[now].next[c^key];
48             else
49                 break;///没路
50         }
51         if(i==-1)///跑完30~0的加上最后一位，其他的则是s[i]^K本身不存在
52             ans+=Trienode[now].cnt;
53         return ans;
54     }
55 } tree;
56 int ss[1000010];
57 int main()
58 {
59     int n, k;
60     long long ans=0;///答案会爆long long
61     tree.init( );
62     tree.insert(0);///为什么要插入0呢？ 因为前i项异或和等于s[i]^0,这样就可以不用特判
63     ss[0]=0;///因为ss[i]^0=ss[i],用在输入ss[i]时
64     scanf("%d%d", &n, &k);
65     for(int i=1; i<=n; i++)
66     {
67         scanf("%d", &ss[i]);
68         ss[i]^=ss[i-1];///处理异或前缀和
69         ans+=tree.find(ss[i], k);///先找
70         tree.insert(ss[i]);///再查
71     }
72     printf("%I64d\n", ans);
73 }

菜鸡代码

 

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