相机标定原理

1 基本概念

介绍几个基本的定义：

• 世界坐标系（object space）：代表物体在真实世界里的三维坐标，坐标系用$X_w,Y_w,Z_w$表示。
• 相机坐标系：代表以相机光学中心为原点的坐标系，光轴与z轴重合，坐标系统$X_c,Y_c,Z_c$表示。
• 图像坐标系（film plane）：代表相机拍摄图像的坐标系，原点为相机光轴与成像平面的交点，是图像的中心点，坐标系用$X,Y$表示
• 像素坐标系（projection plane）：由于图像的基本单位是像素，所以该坐标系是图像上点在图像储存矩阵中的像素位置，坐标原点在左上角，坐标系用$u，v$表示。前三个坐标系的单位是毫米，而最后一个坐标系的单位是像素。

1.1 成像原理

小孔成像原理

1. 世界坐标系到相机坐标系的变换就可以表示为：
   

2. 相机坐标系到图像坐标系的变换就可以表示为：看成简单的影射变换（相机看做小孔成像模型），将三维坐标变换为二维坐标，其中$f$为相机的焦距。
   
   上式中，$Z_c$就是小孔成像原理中的$Z$，$f$就是小孔成像原理中的焦距，计算出来的$x,y$则代表了在图像中的距离，单位是毫米。

3. 图像坐标系到像素坐标系的变换：设图像$x$方向上每毫米有$f_x$个像素，$y$方向上每毫米有$f_y$个像素，则有：
   
   其中，$c_x,c_y$是图像坐标系原点在像素坐标系下的坐标。
   

1.2 畸变模型

其中$r$代表的是坐标点到中心的距离，当$k>0$时，表示为枕型畸变。

2 相机标定的目标

• 内参主要由两部分：图像坐标系到像素坐标系的变换中参数和畸变参数
• 外参主要是旋转变换参数和平移变换参数。

张氏标定的前提：the model plane Z=0，对于公式5，则可以把$r_3$去除，则写成：

将上式用符号简化：

$H$代表的是一个平面和另一个平面之间的映射关系，也就是说，在知道了两个平面之间的对应关系之后，是可以把$H$计算出来的，其中的$A$是内参矩阵，$[r_1,r_2,t]$是外参矩阵。

由于世界坐标系到图像坐标系的变换是刚体变换，所以外参矩阵是一个模长为1的正交矩阵，所以有$||r_1||=||r_2||$，且$r_1\cdot r_2=0$，变换之后：


其中$b$是未知量，而$v_{ij}$可以表示为（H已知）：