BP神经网络：误差反向传播公式的简单推导
最近看了一下BP神经网络(Backpropagation Neural Networks)，发现很多资料对于BP神经网络的讲解注重原理，而对于反向传播公式的推导介绍的比较简略，故自己根据《PATTERN RECOGNITION AND MACHINE LEARNING》这本书的思路推导了一下反向传播的过程，记录在这里，以便以后看。对于BP神经网络的工作原理此处就不再赘述，周志华大牛的《机器学习》中介绍的很详细。
PS: 本人第一次写博客，不足之处还请见谅。
1. BP网络模型及变量说明
1.1 模型简图
1.2 变量说明：
ml ：第 l 层神经元个数
x(1)p : 输入层第 p 个神经元， p=1...m1 ；
yk : 输出层第 k 的神经元的输出， k=1...ml+1 ；
tk ：输出层第 k 的神经元的目标值， k=1...ml+1 ；
z(l)j ：第 l 层的第 j 的神经元的输入；
a(l)j ：第 l 层第 j 个神经元的输出；
a(l)0 ：第 l 层的偏置项；
w(l)ji ：第 l−1 层第 i 个神经元与第 l 层第 j 个神经元的连接权值；
h(.) ：激活函数，这里假设每一层各个神经元的激励函数相同（实际中可能不同）；
Ep ：网络在第 p 个样本输入下的偏差， n=1...N ；
N ：样本总数
2. 误差反向传播相关推导
2.1 正向传播（forward-propagation）
正向传播的思想比较直观，最主要的是对于激活函数的理解。对于网络中第 l 层的第 j 个神经元，它会接受来自第 l−1 层所有神经元的信号，即：
如果令 wj0=1 ，可以将公式简写为：
则经过该神经元后的输出值为：
对于多分类问题，网络输出层第 k 个神经元输出可表示为：
这里说明一下，BP神经网络中激活函数通常会取 sigmoid 函数或 tanh 函数，不清楚的可以百度一下这两个函数，这里不再赘述。
2.2 代价函数（cost function）
由2.1节公式可以得到BP网络在一个样本下的输出值，我们定义平方和误差函数（sum-of-square error function）如下：
所有样本输入下，网络的总误差为：
2.3 反向传播（back-propagation）
这是BP神经网络最核心的部分，误差从输出层逐层反向传播，各层权值通过梯度下降法（gradient descent algorithm）进行更新，即：
上式中， η 是每次更新的步长， ▽Ep(w) 是第 p 个样本输入下的输出偏差对某一层权值的偏导数，表示每输入一个样本更新一次参数。
下面我们以 w(l)ji 为例推导梯度项：
这里我们定义 δ(l)j=∂Ep∂z(l)j ，对于输出层，可以得出 δ(l+1)k=yk−tk=a(l+1)k−tk ，则上式可表示为：
现在问题转换为求解 δ(l+1)k :
根据 δ 的定义可知 ∂Ep∂z(l+1)k=δ(l+1)k ，代入上式，则：
根据 z(l+1)k 和 alj 的定义可知：
代入上式得：
由此我们得到了误差从输出层向低层反向传播的递推公式，进而可以求出误差对于每一层权值的梯度 ▽Ep(w)
3. 总结
BP神经网络是应用最多的一种神经网络，其精髓在于误差反向传播。本人在学习这块内容是为了给接下来学习和研究深度学习及caffe做准备，由于个人水平有限，在上述推导中可能存在不合理的地方，还请见谅，同时也欢迎指出内容的不足之处。
4. 参考文献
[1] 周志华，机器学习[M] , 清华大学出版社，2016.
[2] CHRISTOPHER M.BISHOP. PATTERN RECOGNITION AND MACHINE LEARNING [M], 2006.