Matlab中fft函数的用法及关键问题详解

FFT是Fast Fourier Transform(快速傅里叶变换)的简称，这种算法可以减少计算DFT（离散傅里叶变换，关于此更详细的说明见后文）的时间，大大提高了运算效率，并曾经一度被认为是信号分析技术划时代的进步，其重要性由此可见一斑。闲话少叙，言归正传。

基于FFT在信号分析中的重要性，其必然会成为MATLAB的座上宾。FFT算法在MATLAB中实现的函数是Y=fft(x,n)。刚接触频谱分析用到FFT时，几乎都会对MATLAB的fft函数产生一些疑惑，本文本着从问题出发的原则，主要着手对一下几个问题进行解释：

（一）fft函数计算得到的Y是输入信号x的频谱吗？如果不是还要经过怎样的变换？为什么要除以N。

（二）如何计算Y对应的频率f，并绘制（f,Y）频谱图？

（三）如何根据离散信号的长度确定n的数值？

下面以MATLAB帮助文档中的例子来一一看这几个问题。

Fs = 1000;                    % Sampling frequency
T = 1/Fs;                     % Sample time
L = 1000;                     % Length of signal
t = (0:L-1)*T;                % Time vector
% Sum of a 50 Hz sinusoid and a 120 Hz sinusoid
x = 0.7*sin(2*pi*50*t) + sin(2*pi*120*t); 
y = x + 2*randn(size(t));     % Sinusoids plus noise
subplot(2,1,1)
plot(Fs*t(1:50),x(1:50))
title('Sinusoids Signal')
xlabel('time (milliseconds)')
subplot(2,1,2)
plot(Fs*t(1:50),y(1:50))
title('Signal Corrupted with Zero-Mean Random Noise')
xlabel('time (milliseconds)')

NFFT = 2^nextpow2(L); % Next power of 2 from length of y           
Y = fft(y,NFFT)/L;    %                                            (1)
f = Fs/2*linspace(0,1,NFFT/2+1);
% Plot single-sided amplitude spectrum.
figure
plot(f,2*abs(Y(1:NFFT/2+1)))       %                               (2)
title('Single-Sided Amplitude Spectrum of y(t)')
xlabel('Frequency (Hz)')
ylabel('|Y(f)|')

运行结果：

1、关于问题（一）

程序（1）处为何要除以信号的采样长度L？

由Fourier变换对

可知，fft函数直接计算得到的X（k）并不是频谱幅值。

在x(j)的Fourier级数（3）中，谐波分量

对应的幅值为X(k)/N，因此必须对fft得到的结果除以离散信号的长度N才能得到频谱幅值。

2、关于问题（三）

程序（1）处，fft函数的第二个参数NFFT为何取值

NFFT = 2^nextpow2(L);

其含义是取不小于L的最小的2的幂。之所以这样取值是因为FFT算法要求信号的长度为2的幂，当NFFT大于信号长度时，fft函数以零补齐。

由（2）可知幅值谱只取了前半部分，并且还要乘以倍数2。也就是说频谱幅值是

2*abs(Y(1:NFFT/2+1))

这是因为信号的频谱是前后对称的，而且一般负频率没有物理意义。也就是说绝对值相等的频率，其对应的频率幅值是相等的，所以把正频率对应的频率幅值的两倍作为频谱幅值。

3、关于问题（二）

由离散傅里叶变换（DFT）的推导过程可知，如果信号的时间长度是T0，则用DFT进行频谱分析的频率分辨率是1/T0。由于fft函数取信号的长度是NFFT，采样频率是Fs，由此可知fft的频率分辨率是Fs/NFFT。因此与频谱幅值

2*abs(Y(1:NFFT/2+1))

相对应的频率值是

f=1/(NFFT*T)*(0:NFFT/2);

或者

f = Fs/2*linspace(0,1,NFFT/2+1);