反演

线性离散反演

线性离散变换都可以表示为矩阵的形式

对于数列$A[a_0,a_1...]$，$B[b_0,b_1...]$，矩阵$M$满足$B=MA$，$A=M^{-1}B$，则变换$M$与变换$M^{-1}$互为反演变换

对$B=MA$，我们已知$B$，能否还原$A$，这就是逆变换的关注点，也称为反演

当施加在数列$A$上的运算不容易处理时，我们可以利用变换矩阵的性质在$O(n)$或者$O(nlgn)$的时间内转换到数列$B$，作等价运算完成后再通过逆变换还原回去，这就是$FFT$，$NTT$，$FWT$的思想，区间修改化差分点值修改也体现了这一思想

同时，如果满足某条件的数列$A$不容易求出的时候，我们可以先求出某个容易求的$MB$，再反演回来得到结果

前缀和反演
$$\begin{array}{cc}{b}_i={\sum }_{j=0}^i{a}_j& a_i=b_i-b_{i-1}\\ & \\ M=\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& ...\\ 1& 1& 0& 0& ...\\ 1& 1& 1& 0& ...\\ 1& 1& 1& 1& ...\\ ...& ...& ...& ...& ...\end{array}\right]& M^{-1}=\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& ...\\ -1& 1& 0& 0& ...\\ 0& -1& 1& 0& ...\\ 0& 0& -1& 1& ...\\ ...& ...& ...& ...& ...\end{array}\right]\end{array}$$
证明，$M{M}^{-1}=E$，考虑$M^{-1}$第$y$列中的非零项

$$\begin{array}{rl}M{M}^{-1}{}_{x,y}& =M_{x,y}{M}^{-1}{}_{y,y}+M_{x,y+1}{M}^{-1}{}_{y+1,y}\\ & =\{\begin{array}{cc}0& x<y\\ 1& x=y\\ 1-1& x>y\end{array}\\ & =\{\begin{array}{cc}1& x=y\\ 0& x\ne y\end{array}\\ & \\ \therefore M{M}^{-1}& =E\end{array}$$

这就是前缀和与差分，很好理解，可以推广到多维（定义域为$\{0,1\}$时为子集反演，详见下文）
莫比乌斯反演

数论反演，定义域为正整数，这里假定a，b下标都从1开始
$$\begin{array}{cc}{b}_i={\sum }_{j|i}{a}_j& a_i={\sum }_{j|i}\mu (\frac{i}{j})b_j\\ & \\ M=\left[\begin{array}{ccccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0& ...\\ 1& 1& 0& 0& 0& 0& ...\\ 1& 0& 1& 0& 0& 0& ...\\ 1& 1& 0& 1& 0& 0& ...\\ 1& 0& 0& 0& 1& 0& ...\\ 1& 1& 1& 0& 0& 1& ...\\ ...& ...& ...& ...& ...& ...& ...\end{array}\right]& M^{-1}=\left[\begin{array}{ccccccc}\mu (1)& 0& 0& 0& 0& 0& ...\\ \mu (2)& \mu (1)& 0& 0& 0& 0& ...\\ \mu (3)& 0& \mu (1)& 0& 0& 0& ...\\ \mu (4)& \mu (2)& 0& \mu (1)& 0& 0& ...\\ \mu (5)& 0& 0& 0& \mu (1)& 0& ...\\ \mu (6)& \mu (3)& \mu (2)& 0& 0& \mu (1)& ...\\ ...& ...& ...& ...& ...& ...& ...\end{array}\right]\end{array}$$
证明，$M{M}^{-1}=E$，考虑$M$第$x$行与$M^{-1}$第$y$列中的第$k$项，显然第$k$项非零条件为$[k|x][k|y]$
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \and at position 52: …& = \sum_{k|x\ \̲a̲n̲d̲\ k|y}M_{x,k}M^…
莫比乌斯反演本质就是一个容斥的过程，因为和整除密切相关，很多$gcd$，$lcm$，互质的题目都可能会用到

子集反演

集合可以施加，与，交，交补运算，用二进制数表示集合，可转化为数的&，|，^运算

子集和可以用子集枚举$O(3^n)$或者$SOSDP$，或$FWT\_or$正变换或$FMT$，$O(n{2}^n)$来解决

子集反演则是子集和的逆变换过程，可以用子集枚举$O(3^n)$或者逆变换或$FMI$，$O(n{2}^n)$解决

这里的$j|i=i$表示$j$是$i$子集，$i-j$表示指定全集$i$，对$j$做补集运算，$bits\_cnt(x)$表示二进制数$x$为1的位的个数
$$\begin{array}{cc}{b}_i={\sum }_{j|i=i}{a}_j& a_i={\sum }_{j|i=i}(-1{)}^{bits\_cnt(i-j)}{b}_j\\ & \\ M=\left[\begin{array}{ccccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0& ...\\ 1& 1& 0& 0& 0& 0& ...\\ 1& 0& 1& 0& 0& 0& ...\\ 1& 1& 1& 1& 0& 0& ...\\ 1& 0& 0& 0& 1& 0& ...\\ 1& 1& 0& 0& 1& 1& ...\\ ...& ...& ...& ...& ...& ...& ...\end{array}\right]& M^{-1}=\left[\begin{array}{ccccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0& ...\\ -1& 1& 0& 0& 0& 0& ...\\ -1& 0& 1& 0& 0& 0& ...\\ 1& -1& -1& 1& 0& 0& ...\\ -1& 0& 0& 0& 1& 0& ...\\ 1& -1& 0& 0& -1& 1& ...\\ ...& ...& ...& ...& ...& ...& ...\end{array}\right]\end{array}$$

如果把每个集合的状态$0,1$看做一维，那么子集和的过程也就是多维前缀和的过程，那么只需要一维一维的作前缀，就可以的到子集和，一维一维的作差分，就可以还原数组

这就是经典的快速莫比乌斯变换(FMT)与快速莫比乌斯逆变换FMI

void FMT(int a,int n) {
    for(int i = 0;i < n;i ++)
    	for(int j = 0;j < (1 << n);j ++)
            if ( j & (1 << i) ) p[j] += p[j - (1 << i)];
}

void FMI(int a,int n) {
    for(int i = 0;i < n;i ++)
    	for(int j = 0;j < (1 << n);j ++)
            if ( j & (1 << i) ) p[j] -= p[j - (1 << i)];
}

二项式反演
$$\begin{array}{cc}{b}_i={\sum }_{j=0}^i\left(\begin{array}{c}i\\ j\end{array}\right)a_j& a_i={\sum }_{j=0}^i(-1{)}^{i-j}(\begin{array}{c}i\\ j\end{array})b_j\\ & \\ M=\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& ...\\ 1& 1& 0& 0& ...\\ 1& 2& 1& 0& ...\\ 1& 3& 3& 1& ...\\ ...& ...& ...& ...& ...\end{array}\right]& M^{-1}=\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& ...\\ -1& 1& 0& 0& ...\\ 1& -2& 1& 0& ...\\ -1& 3& -3& 1& ...\\ ...& ...& ...& ...& ...\end{array}\right]\end{array}$$

二项式反演非常经典，举几个例子

错排问题，序列$1,2...n$重排后，全部错位的排列方案数有多少

我们记$a_i$为序列$1,2...i$重排后的全部错位的方案数，$b_i$为序列$1,2...i$重排后的错位个数为小于等于$i$的方案数，一共就$i$个数，那么$b_i$不就是全排列么，而错位个数恰好为j的个数相当于i个数中选j个乘上j个数内部错排

写成表达式就是$b_i={\sum }_{j=0}^i\left(\begin{array}{c}i\\ j\end{array}\right)a_j=i!$

根据二项式反演容易得到$a_i={\sum }_{j=0}^i(-1{)}^{i-j}(\begin{array}{c}i\\ j\end{array})j!={\sum }_{j=0}^i(-1{)}^{i-j}\frac{i!}{j!(i-j)!}j!=i!{\sum }_{j=0}^i\frac{(-1{)}^j}{j!}$

这就是著名的错排公式

球染色问题，有n个球，k种颜色，相邻的两个球不能染相同颜色，全部k种颜色必须全部使用，求染色方案数

记$a_i$为恰好使用$i$种颜色的方案数，$b_i $为使用小于等于$i$种颜色的方案数

第一个球$i$种染法，后面每个球$i-1$种染法，$b_i=i(i-1{)}^{n-1}$，而$b_i={\sum }_{j=0}^i\left(\begin{array}{c}i\\ j\end{array}\right)a_j$，反演即可

序列比大小，给定序列$A$，序列$B$重排后，$a_i>b_i$对数等于$k$的方案数有多少

学习中…(未完待续)

斯特林反演

单位根反演

最值反演

拉格朗日反演