机器学习之正则化、神经网络简介

正则化(Regularization)

1. 过拟合(over-fitting)
   如果我们有非常多的特征，我们通过学习得到的假设可能能够非常好地适应训练集（代价函数可能几乎为0），但是可能会不能推广到新的数据。
   问题是，如果我们发现了过拟合问题，应该如何处理？
   （1）丢弃一些不能帮助我们正确预测的特征。可以是手工选择保留哪些特征，或者使用一些模型选择的算法来帮忙（例如PCA）
   （2）正则化。 保留所有的特征，但是减少参数的大小（magnitude）。
2. 代价函数
   回归问题中如果我们的模型是：$h_{\theta }(x)={\theta }_0+{\theta }_{1}x+{\theta }_2{x}^2+{\theta }_3{x}^3+{\theta }_4{x}^4$ ，正是那些高次项导致了过拟合的产生，所以如果我们能让这些高次项的系数接近于0的话，我们就能很好的拟合了。 所以我们要做的就是在一定程度上减小这些参数$\theta$的值，这就是正则化的基本方法。
   现在考虑在代价函数中加入对${\theta }_3$和${\theta }_4$的惩罚，即$$J(\theta )=\frac{1}{2m}\sum _{i=1}^m((h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)}{)}^2+1000{\theta }_3+1000{\theta }_4)$$通过这样的代价函数选择出的${\theta }_3$和 ${\theta }_4$对预测结果的影响就比之前要小许多。
   假如我们有非常多的特征，我们并不知道其中哪些特征我们要惩罚，我们将对所有的特征进行惩罚，并且让代价函数最优化的软件来选择这些惩罚的程度。这样的结果是得到了一个较为简单的能防止过拟合问题的假设：$$J(\theta )=\frac{1}{2m}\sum _{i=1}^m((h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)}{)}^2+\lambda \sum _{j=1}^n{\theta }_j)$$按照惯例，不对${\theta }_0$作惩罚。
   $\lambda$为正则化参数(Regularization Parameter)。
3. 正则化线性回归
   正则化线性回归的代价函数为：$$J(\theta )=\frac{1}{2m}\sum _{i=1}^m((h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)}{)}^2+\lambda \sum _{j=1}^n{\theta }_j)$$
   梯度下降法分两种情况进行：
   ${\theta }_0={\theta }_0-\alpha \frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(h_{\theta }(x^i)-y^{(i)})x_0^{(i)}$
   ${\theta }_j={\theta }_j-\alpha \frac{1}{m}\sum _{i=1}^m((h_{\theta }(x^i)-y^{(i)})x_j^{(i)}+\frac{\lambda }{m}{\theta }_j),j=1,2,\cdots ,n$
   矩阵尺寸为$(n+1)\times (n+1)$。
4. 正则化的逻辑回归模型
   自己计算导数同样对于逻辑回归，我们也给代价函数增加一个正则化的表达式，得到代价函数： $$J(\theta )=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(-y^{(i)}log(h_{\theta }(x^{(i)}))+(1-y^{(i)})log(1-h_{\theta }(x^{(i)}))+\frac{\lambda }{2m}\sum _{j=1}^n{\theta }_j^2)$$

神经网络

1. 每一个神经元都可以被认为是一个处理单元/神经核（processing unit/Nucleus），它含有许多输入/树突（input/Dendrite），并且有一个输出/轴突（output/Axon）。神经网络是大量神经元相互链接并通过电脉冲来交流的一个网络。

2. 在神经网络中，参数又可被成为权重（weight）。

3. 一个3层的神经网络，第一层称为输入层（Input Layer），最后一层称为输出层（Output Layer），中间一层称为隐藏层（Hidden Layers）。为每一层都增加一个偏差单位（bias unit）：
   
   一些符号含义：$a_i^{(j)}$代表第j层的第i个激活单元，${\Theta }^{(j)}$代表第j层映射到第j+1层时权重矩阵，其尺寸为：以第 j+1层的激活单元数量为行数，以第 j层的激活单元数加一为列数的矩阵。如${\Theta }^{(1)}$的尺寸为$3\times 4$。
   对上图，隐藏单元和输出表示为：
   $$a_1^{(2)}=g({\Theta }_{10}^{(1)}{x}_0+{\Theta }_{11}^{(1)}{x}_1+{\Theta }_{12}^{(1)}{x}_2+{\Theta }_{13}^{(1)}{x}_3)$$ $$a_2^{(2)}=g({\Theta }_{20}^{(1)}{x}_0+{\Theta }_{21}^{(1)}{x}_1+{\Theta }_{22}^{(1)}{x}_2+{\Theta }_{23}^{(1)}{x}_3)$$ $$a_3^{(2)}=g({\Theta }_{30}^{(1)}{x}_0+{\Theta }_{31}^{(1)}{x}_1+{\Theta }_{32}^{(1)}{x}_2+{\Theta }_{33}^{(1)}{x}_3)$$ $$h_{\theta }(x)=g({\Theta }_{10}^{(2)}{a}_0^{(2)}+{\Theta }_{11}^{(2)}{a}_1^{(2)}+{\Theta }_{12}^{(2)}{a}_2^{(2)}+{\Theta }_{13}^{(2)}{a}_3^{(2)})$$ 上面进行的讨论中只是将特征矩阵中的一行（一个训练实例）喂给了神经网络，我们需要将整个训练集都喂给我们的神经网络算法来学习模型。
   每一层的神经元输出都是由上一层的神经元决定的，即为前向传播算法(从左往右)(forward propagation)。

4. $X$, $\Theta$, $a$的矩阵表示： $$X=\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}{x}_0\\ x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]\end{array}$$$${\Theta }^{(1)}=\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cccc}{\Theta }_{10}& {\Theta }_{11}& {\Theta }_{12}& {\Theta }_{13}\\ {\Theta }_{20}& {\Theta }_{21}& {\Theta }_{22}& {\Theta }_{23}\\ {\Theta }_{30}& {\Theta }_{31}& {\Theta }_{32}& {\Theta }_{33}\end{array}\right]\end{array}$$$$a=\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}{a}_0\\ a_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right]\end{array}$$即有：$\Theta X=a$。

5. 神经网络中，单层神经元（无中间层）的计算可用来表示逻辑运算，比如逻辑与(AND)、逻辑或(OR)。