scipy.stats —— 概率、随机变量与分布

import numpy as np
import scipy.stats as st

• 几率（odds）

  $p(B)=\frac{1}{20}$：二十场比赛只赢一场
  **odds against B winning: ** $o(B)=\frac{1-p(B)}{p(B)}=19$：
  A赢19场比赛，B才会赢一场

0. 常见分布

• 泊松分布：st.poisson(lambda)
• 指数分布：st.expon
• 二项分布：st.binom(n, p)
• 正态分布：st.norm
  • 默认为标准正态分布，st.norm().cdf(0) ⇒ 0.5
  • st.norm(32, 2.5).cdf(32) ⇒0.5，均值为 32；
• beta分布：st.beta
• gamma分布：st.gamma

1. scipy.stats vs. scipy.special

• scipy.special：中定义的是一些特殊的函数；
  • scipy.special.beta：表示的是beta函数；
  • scipy.special.gamma：表示的则是 gamma 函数
• scipy.stats：定义的则是概率分布；
  • scipy.stats.beta：表示的是 beta 分布；
  • scipy.stats.gamma：表示的是 gamma 分布；

2. 创建随机变量（rv：random variable）

• 泊松分布：

  F_true = 1000
  N = 50
  F = st.poisson(F_true).rvs(N)
  				# 泊松分布为离散型概率分布
  

  也可以这样：

  mu_true, sigma_true = 1000, 15
  N = 100
  F_true = st.norm(mu_true, sigma_true).rvs(N)
  F = st.poisson(F_true).rvs()
  

• 二项分布

  # python
  >>> import scipy.stats as st
  >>> n, p = 100, .5
  >>> X = st.binom(n, p)
  						# 随机变量X：投100次硬币正面出现的个数
  						# 用二项分布表示
  >>> X.mean()
  50.0						# mu = n*p = 100*.5 
  >>> X.std()
  5.0							# sigma = sqrt(n*p*q)=sqrt(100*.5*.5)
  

  st.binom(100, .5).rvs() ⇒ 采样（trial）；

3. 连续性概率分布函数：pdf

pdf 表示的是函数，给一定输入值，就会得到一个输出值，而不是随机变量。

• st.norm.pdf(0, loc=0, scale=1) ⇒ $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$

  如下代码绘制出 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp (-\frac{(x-1{)}^2}{2})$

  mu, sigma = 1, 1
  xs = np.linspace(-5, 5, 1000)
  plt.plot(x, st.norm.pdf(xs, loc=mu, scale=sigma))
  plt.show()
  

• st.multivariate_normal：多元正态分布；
  scipy.stats.multivariate_normal

  • 直接传递$x$，根据概率密度函数（pdf）获得其值；

  x = np.linspace(0, 5, 10, endpoint=False)
  y = st.multivariate_normal.pdf(x, mean=2.5, cov=.5)
  

  • 首先定义随机变量，再取得 pdf 在各个位置上的值；

  x, y = np.mgrid[-1:1:.01, -1:1:.01]
  pos = np.empty(x.shape + (2,))
  pos[:, :, 0] = x; pos[:, :, 1] = y
  rv = multivariate_normal([0, 0], [[1, 0], [0, 1]])
  plt.contourf(x, y, rv.pdf(pos))