浅谈雅可比矩阵

历史渊源

首先，要先介绍一下——多产堪比欧拉，被广泛认为是历史上三大最具运算能力的数学家之一的雅可比先生。
卡尔·雅可比
1804年12月10日，卡尔·雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi）出生于普鲁士的一个殷实犹太人家庭，成为家中的老二，父亲（Simon Jacobi）是一位成功的银行家。
雅可比是个聪明的孩子，幼年跟随舅舅学习古典语言和数学，12岁进入波茨坦大学预科学习，不到半年跳级到高年级，甚至在自学欧拉的《无穷小分析引论》后尝试解决五次方程式。
当时的大学并不接受16岁以下的学生，因此雅可比在1821年才得以入读柏林大学。
雅可比对哲学、数学等领域均怀有浓厚的兴趣，曾磨刀霍霍准备向“全才”发起进攻。奈何数学的磁场实在太强，最终他义无反顾地投奔了数学。（据说是因为数学最难，雅可比才选择它的╮(╯▽╰)╭）
这一投，无疑给数学史添上了浓墨重彩的一笔。
雅可比不仅天赋高，人还特别勤奋，一直不知疲倦地进行着科研与教学，让他年纪轻轻就收获了一堆荣誉。
1825年，获得柏林大学理学博士学位，并留校任教；1827年，被选为柏林科学院院士（同时是伦敦皇家学会会员，巴黎等科学院院士）；1829年，成为哥尼斯堡大学数学系的终身教授，并担任主席15年；
19世纪的数学以单复变函数为主要研究领域，而椭圆函数是其中一颗螺丝钉。1827年，雅可比迷上了它，埋头苦干2年后发表的人生第一篇杰作《椭圆函数理论的新基础》（椭圆函数领域关键性著作），让当时的研究有了质一般的飞跃。
雅可比与阿贝尔几乎同时各自独立发现了椭圆函数，因此被公认为椭圆函数理论独立奠基人。而该理论的出现不仅引进了θ函数，还为推动复变函数理论的发展和n个变量的阿贝尔函数论的产生带来了不可磨灭的影响。

椭圆函数，源自：Wikipedia
紧接着，拘泥于一个领域，已经远远无法满足日益膨胀的欲望后，雅可比开始疯狂扫荡各大数学分支，甚至是物理学分支。
得益于强大运算天赋，他最终在力学和数学物理等应用领域也收获了一番成就。
用于表述经典力学的哈密顿-雅可比理论是唯一可用于量子力学的理论；第一个将椭圆函数理论应用于数论研究的人；是决定因素理论的早期创始人之一；… …
扫荡过程中，行列式理论也沦为了他的囊中之物。而在他发表的著名论文《论行列式的形成和性质》中所引进的函数行列式正是大家熟悉的“雅可比行列式”。
此文标志着行列式系统理论的建成，文中不仅求出了函数行列式的导数公式，还证明了
函数之间是否相关的条件就是雅可比行列式是否为零
，并给出了该行列式的乘积定理。
若雅可比行列式恒等于零，函数组（u1,…,un）是函数相关。雅可比行列式在多重积分的变量替换中占据着决定性的作用，势必引起人们的全方位关注。

可以看出雅可比行列式辨识度很高，比常规的行列式长得更有特色，构成元素竟然均为
偏导数。
一个多变量函数的偏导数是指它关于其中一个变量的导数，而其他变量保持恒定。比如：若函数f(x,y)保持x值不变，改变y值可得到对应的f0(x,y+△y)。当△x→0时，f0-f/△y的极限存在，则可以称该比值为f对y的偏导数，记作：∂f/∂y；同理，保持y值不变情况下的偏导数，记作：∂f/∂x。
众所周知，矩阵和行列式是一对好基友，经常结伴出行。因此在介绍雅可比行列式的定义之前，打算先给大家讲讲雅可比矩阵。
假设f: Rn→Rm为一个从欧式n维空间转换到欧式m维空间的函数，并且由m个实函数组成: y1(x1,…,xn), …, ym(x1,…,xn)。若将该函数的偏导数(若存在)组成一个m行n列的矩阵, 那么这个矩阵就是所谓的雅可比矩阵。

当m=n时，雅可比矩阵妥妥地变成一个方阵，该方阵的行列式则可称为雅可比行列式。雅可比矩阵重要之处在于它能够体现一个可微方程与给出点（设该点为点A）的最优线性逼近，因此雅可比行列式可用于求解点A的微分方程组的近似解。
如下图所示，映射f: R2→R2将左边的正方形变成右边扭曲的平行四边形，其中右边半透明白色区域是扭曲图形的最优线性近似，而平行四边形面积与原始正方形面积的比值则是雅可比行列式。

源自： Wikipedia
简单来说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响，代表着变换后的缩放比例，而雅可比行列式也不例外。
就拿图一来讲，图中的映射并非线性，但其微元变换实际上可以看做是线性的，因此雅可比行列式实际意义就是坐标系变换后，单位微元的比率或倍数。
现在让我们以二维空间为例，看看究竟怎么一回事。
设f=(x,y)，其中x=x(u,v)，y=y(u,v)，可求得
偏导数
分别为：

那么函数的雅可比矩阵为：

那么，雅可比行列式就是：

还是看图一，假设图中正方形所在的坐标系是uv坐标系，而平行四边形所在的坐标系是xy坐标系。