二分法搜索行列有序矩阵系列

leetcode378有序矩阵中第K小的元素[1]

给定一个 n x n 矩阵，其中每行和每列元素均按升序排序，找到矩阵中第 k 小的元素。
请注意，它是排序后的第 k 小元素，而不是第 k 个不同的元素.

 

示例：

matrix = [
   [ 1,  5,  9],
   [10, 11, 13],
   [12, 13, 15]
],
k = 8,

返回 13。

 

提示：
你可以假设 k 的值永远是有效的，1 ≤ k ≤ n2 。

因为是有序数组查找，首先想到的就是二分法。首先确定查找范围，low=matrix[0][0]，high=matrix[n-1][n-1]，第k小元素一定在[low, high]区间。每次对区间二分，查找<=mid的元素个数cnt，若cnt

按照上述思路，实现代码如下：

    int kthSmallest(vector>& matrix, int k) {
        int n = matrix.size();
        int low = matrix[0][0], high = matrix[n-1][n-1];
        while (low

1）对于num_le(matrix，mid)函数，比较容易想到的思路是对matrix按行/列二分，查找第一个>mid的位置，例如第i行第一个>mid的元素是matrix[i][p]，cnt+=p。

int num_le(vector>& a, int target)
{
    int cnt = 0;      
    for (int i = 0; i < matrix.size(); ++i) 
        # c++自带函数upper_bound(),返回>target的第一个元素位置。也可以自己实现二分查找
        cnt += upper_bound(matrix[i].begin(), matrix[i].end(), mid) - matrix[i].begin();
        
    return cnt;
            
};

设m=(high-low), 这种实现方式的时间复杂度为O(logm*n*logn)。

2）可以发现，前面那种按行/列二分实现num_le()的方法实际上是利用了矩阵行升序的性质，而没有用到列升序这一性质。怎么利用矩阵列升序排列这一性质来降低时间复杂度呢？对于矩阵元素matrix[i][j]，可以发现，上方元素都小于等于它，右方元素都大于等于它。如果我们从左下角matrix[n-1][0]开始遍历，若当前元素>target，需要向上查找i--;否则cnt+=i, 且j++。这种实现方式的时间复杂度为O(logm*2n)=O(nlogm)。

int num_le(vector>& a, int target)
    {
        int n = a.size();
        int i=n-1, j=0, cnt=0;
        while (i>=0 && jtarget)
                i--;  //向上查找更小的元素
            else
            {
                cnt += (i+1);  //当前列（0-i)行的元素均满足<=target
                j++;     //向右查找更大的元素
            }
        }
        return cnt;
    }
};

240. 搜索二维矩阵 I

 

编写一个高效的算法来搜索 m x n 矩阵 matrix 中的一个目标值 target。该矩阵具有以下特性：

• 每行的元素从左到右升序排列。
• 每列的元素从上到下升序排列。

  示例:

  现有矩阵 matrix 如下：

  [
    [1,   4,  7, 11, 15],
    [2,   5,  8, 12, 19],
    [3,   6,  9, 16, 22],
    [10, 13, 14, 17, 24],
    [18, 21, 23, 26, 30]
  ]

  
  给定 target = 5，返回 true。

  给定 target = 20，返回 false.

•  

  1)与前面思路一致，可以采用按行二分查找，但时间复杂度为O(m*logn)

  2)从左下角开始遍历，当前元素>target，则向上搜索，  

      bool searchMatrix(vector>& matrix, int target) {
          int m = matrix.size();
          if (m==0)   return false;
          int n = matrix[0].size();
          int i = m-1, j = 0;
          while (i>=0 && j target)
                  i--;
              else if (matrix[i][j] < target)
                  j++;
              else
                  return true;
          }
          return false;
      }

   

[1]https://leetcode-cn.com/problems/kth-smallest-element-in-a-sorted-matrix

[2]https://leetcode-cn.com/problems/search-a-2d-matrix-ii/