熄灯问题 - 详解

说明：算法并非原创，来源于网上大神，本文只是对算法进行详细的解释。题目来源 - [NOI OpenJudge]

题目描述

有一个由按钮组成的矩阵，其中每行有6个按钮，共5行。每个按钮的位置上有一盏灯。当按下一个按钮后，该按钮以及周围位置(上边、下边、左边、右边)的灯都会改变一次。即，如果灯原来是点亮的，就会被熄灭；如果灯原来是熄灭的，则会被点亮。在矩阵角上的按钮改变3盏灯的状态；在矩阵边上的按钮改变4盏灯的状态；其他的按钮改变5盏灯的状态。

在上图中，左边矩阵中用X标记的按钮表示被按下，右边的矩阵表示灯状态的改变。对矩阵中的每盏灯设置一个初始状态。请你按按钮，直至每一盏等都熄灭。与一盏灯毗邻的多个按钮被按下时，一个操作会抵消另一次操作的结果。在下图中，第2行第3、5列的按钮都被按下，因此第2行、第4列的灯的状态就不改变。

请你写一个程序，确定需要按下哪些按钮，恰好使得所有的灯都熄灭。根据上面的规则，我们知道1）第2次按下同一个按钮时，将抵消第1次按下时所产生的结果。因此，每个按钮最多只需要按下一次；2）各个按钮被按下的顺序对最终的结果没有影响；3）对第1行中每盏点亮的灯，按下第2行对应的按钮，就可以熄灭第1行的全部灯。如此重复下去，可以熄灭第1、2、3、4行的全部灯。同样，按下第1、2、3、4、5列的按钮，可以熄灭前5列的灯。

输入

5行组成，每一行包括6个数字（0或1）。相邻两个数字之间用单个空格隔开。0表示灯的初始状态是熄灭的，1表示灯的初始状态是点亮的。

输出

5行组成，每一行包括6个数字（0或1）。相邻两个数字之间用单个空格隔开。其中的1表示需要把对应的按钮按下，0则表示不需要按对应的按钮。

样例输入

0 1 1 0 1 0
1 0 0 1 1 1
0 0 1 0 0 1
1 0 0 1 0 1
0 1 1 1 0 0

样例输出

1 0 1 0 0 1
1 1 0 1 0 1
0 0 1 0 1 1
1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 0

解题思路

为了叙述方便，为按钮矩阵中的每个位置分别指定一个坐标。用数组元素 puzzle[i][j] 表示位置 (i, j) 上灯的初始状态：1 表示灯是被点亮的；0 表示灯是熄灭的。用数组元素 press[i] [j] 表示为了让全部的灯都熄灭，是否要按下位置 (i, j) 上的按钮：1 表示要按下；0 表示不用按下。

由于第 0 行、第 0 列和第 7 列不属于按钮矩阵的范围，没有按钮，可以假设这些位置上的灯总是熄灭的，按钮也不用按下。其它 30 个位置上的按钮是否需要按下是未知的。因此数组 press 共有 230种取值。从这么大的一个空间中直接搜索我们要找的答案，显然代价太大、不合适。

我们从熄灯的规则中，发现答案中的元素值之间的规律。不满足这个规律的数组 press，就没有必要进行判断了。根据熄灯规则，如果矩阵 press 是寻找的答案，那么按照 press 的第一行对矩阵中的按钮操作之后，此时在矩阵的第一行上：

如果位置 (1, j) 上的灯是点亮的，则要按下位置 (2, j) 上按钮，即 press[2] [j] 一定取 1；
如果位置 (1, j) 上的灯是熄灭的，则不能按位置 (2, j) 上按钮，即 press[2] [j] 一定取 0。

因为灯的最后状态（是否按它下一行开关之前）与周围灯是否按按钮有关，如 puzzle[i] [j]，决定它最后状态的相关按钮为 press[i] [j-1] （左），press[i][j]（它本身），press[i] [j+1]（右），press[i-1][j]（上），还有它最初的状态 puzzle[i] [j]。考虑到按两次按钮作用会抵消，需要取它们的和与2的余数，所以puzzle[i] [j] 最后状态公式为:

puzzle[i][j]最后状态 = (press[i][j-1]+press[i][j]+press[i][j+1]+press[i-1][j]+ puzzle[i] [j] ) % 2

而press[i+1] [j] 由 puzzle[i] [j] 的最后状态决定，灯亮着（值为1）就要关掉它，press值取1，灯是熄灭的（值为0）不用处理，press值取0，它们是相等的，所以press[i+1] [j] = puzzle[i] [j] 最后状态。

这样依据 press 的第一、二行操作矩阵中的按钮，才能保证第一行的灯全部熄灭。而对矩阵中第三、四、五行的按钮无论进行什么样的操作，都不影响第一行各灯的状态。依此类推，可以确定 press 第三、四、五行的值。因此，一旦确定了 press 第一行的值之后，为熄灭矩阵中第一至四行的灯，其他行的值也就随之确定了。

press 的第一行共有 64(2^7)种取值，分别对应唯一的一种 press 取值，使得矩阵中前四行的灯都能熄灭。只要对这 64种情况进行判断就可以了：如果按照其中的某个 press对矩阵中的按钮进行操作后，第五行的所有灯也恰好熄灭，则找到了答案。

我们这样来判断第五行灯是否是熄灭的，如puzzle[5] [j], 它的最终状态由按钮press[5] [j-1] （左），press[5][j]（它本身），press[5] [j+1]（右），press[4] [j]（上）决定，如果puzzle[5] [j]原先亮着（值为1），那么决定它最终状态的按钮作用互相抵消后，某一个按钮仍然需要是按下的（值为1），如果puzzle[5] [j]原先熄灭的（值为0），那么决定它最终状态的按钮作用互相抵消后，没有按钮是按下的（值为0）。判断公式为：

if ( puzzle [5] [j] == ( press [5] [j-1] + press [5] [j] + press [5] [j+1] + press [4] [j] )

如果是相等的，则该灯是熄灭的，否则它还是亮着的。

C++代码

#include
int press[6][8];
int puzzle[6][8];

bool guess(){
    int i,j;
    for(i=2;i<=5;i++)
    {
        for(j=1;j<=6;j++)
        {
            // 根据同列的上一行灯的最后状态，来决定是否按按钮
            press[i][j] = ( press[i-1][j]
                            + puzzle[i-1][j]
                            + press[i-1][j-1]
                            + press[i-2][j]
                            + press[i-1][j+1] ) %2;
        }
    }

    for(j=1;j<=6;j++) 
    {
        // 逐一判断第五行的灯是否都熄灭               
        if( puzzle[5][j] != (press[5][j] + press[5][j-1] + press[5][j+1] + press[4][j]) %2 )
            return false;
    }

    return true;
}

void process() {

    int c;
    for(c=1; c<=6; c++)
        press[1][c]=0;

    while( !guess() ) 
    {
        // 采用二进制进位的算法，从000000 - 111111枚举第一行按钮的方式
        press[1][1]++;
        c=1;                
        while(press[1][c]>1)
        {
            press[1][c]=0;
            c++;
            press[1][c]++;
        }


    }
}

int main(){
    int t,i,n,j;
    // 初始化0行的所有元素
    for(i=0;i<8;i++)
    press[0][i]=puzzle[0][i]=0;
    // 初始化0列，7列的所有元素
    for(i=1;i<6;i++)
        press[i][0]=puzzle[i][0]=press[i][7]=puzzle[i][7]=0;

    for(i=1;i<=5;i++)
        for(j=1;j<=6;j++)
            scanf("%d",&puzzle[i][j]);

    process();

    for(i=1;i<=5;i++){
        for(j=1;j<=6;j++){
            printf("%d ",press[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }

    return 0;
}